[法律资料]§2 定积分

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1、§2定积分【考试要求】1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿–莱布尼茨公式.197§2定积分【考试要求】1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿–莱布尼茨公式.1974．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念1．定积分定义设在上有定义且有界，做下述四步：197（1）分割：用个分点分割区间；（2）作乘积：，其中，；（3）求和：；197（4）取极限

2、：，其中，如果上述极限存在，则称在上可积，并称上述极限为在上的定积分，记作.197注的值与对区间的分法无关，与的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与有关，与有关，即.2．定积分的存在性定理设在上连续，或在上有界且只有有限个第一类间断点，则197一定存在．3．几何意义定积分表示由曲线，及轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质（1）；（4）；197（2）；（5）；（3）；（6）.5．定理定理1（定积分的比较定理）若在197上恒有，则.推论1若与在上连续，，且至少有一点，使，则.推论2若在上恒有，则.197推论3．定理2（估值定理）若在上，，则．定理3（积分中值定理

3、）（1）若在上连续，则197，使．（2）若在上连续，在上不变号，且在上可积，则，使.定理4（变上限积分函数及其导数）设在上连续，称为变上限积分函数，则导数为197.推论1设，则.推论2设，则197.推论3设，则.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系）197设在上连续，则变上限积分函数是的一个原函数，即.注不定积分只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当为一个抽象的函数时，无法用197来讨论它的某一原函数的性质；而为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设在上连续，是的一个原函数，则．6．定积分的计算方法197（1）换元法：设在

4、上连续，在上有连续的导数，且当从变到时，从单调地变到，则.要点换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．197（2）分部积分法：设，在上有连续的导数，则或　．注求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算（1）无穷限的广义积分197设在上连续，则；设在上连续，则；设在上连续，则．197仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分）设在上连续，，则，称为瑕点．197设在上连续，，则，称为瑕点．设在上除点外均连续，，则197,称为瑕点．仅当等式右边

5、的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分发散.二、重要结论1971.利用定积分定义求项和的极限设连续，则(1).(2).2.奇、偶函数的积分197(1)设连续，若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则对任意，为偶函数.(2)设在上连续，则1973.周期函数的积分设在上连续，且以为周期，则(1)197；(2)；(3).即周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．4.常用结论197(1)，令；(2)，令；(3)，197.注意.(4)递推公式197三、典型例题题型1有关定积分概念和性质的问题例1设为连续函数，且满足，求．解将原等

6、式变形为令197两边积分得197解之得故例2设为连续函数，且，其中，则的值().197(A)依赖于和(B)依赖于不依赖于(C)依赖于不依赖于(D)不依赖于和解由于，可知的值依赖于，不依赖于.故选(B)正确.例3设为连续的偶函数，是的原函数，且，则197().(A)(B)(C)(D)解选(B).分析为连续的偶函数，为奇函数.197.是的原函数，，又满足.即197，，因此选(B)正确.例4设，求极限.解197题型2变上限积分函数及其导数197例1．解原式197.例2设，其中，为连续函数，求．解先去掉绝对值号（由积分区间的可加性）197例3设，连续，且满足，求197.解而197，原

7、方程化为两边求导得197例4设在内连续，，且对任何满足，求．解先将视为常数，方程两边对求导得，（197看做常数时，积分也看做常数）.令，则（右边两项对可导，所以左边对也可导）上式两边对求导得197，积分得.又.例5设，，求．197解，，又.例6设在上可导，，且其反函数为，若，求197．解两边对求导得积分得197又，故.例7设，其中由确定，求．解197例8设为上的连续函数，197，求.解设则是的一个原函数，，197例9设求　的表达式．解求，即求分段函数的定积分.当时，197当时，197故题型3换元积分法例