高考大一轮总复习3.3导数的综合应用

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1、§3.3　导数的综合应用考点1　利用导数研究生活中的优化问题[典题1]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(2

2、00πrh＋160πr2)元．又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(r＝－5＜0，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，

3、h＝8时，该蓄水池的体积最大．[点石成金]　利用导数解决生活中的优化问题的四步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值

4、；(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．14于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,

5、6)上的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点2　利用导数研究方程的零点问题[典题2]　[2017·山东潍坊模拟]已知函数f(x)＝x2，g(x)＝alnx(a>0)．(1)求函数F(x)＝f(x)·g(x)的极值；(2)若函数G(x)＝f(x)－g(x)＋(a－1)x在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．[解]　(1)由题意知，F(x)＝f(x)·g(x)＝ax2lnx，F′(x)＝axlnx＋ax＝ax(2lnx＋1)，由F′(x)>0得x>e，由

6、F′(x)<0得00，G(x)单调递增．要使G(x)在区间上有两个零点，需满足即即下面比较与的大小．由于－＝＝>0，故>，故实数a的取值范围为.设函数f(x)＝－klnx，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证

7、明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．(1)解：由f(x)＝－klnx(k>0)，得14x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．f(x)在x＝处取得极小值f()＝.(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单