内涵探究，外延拓展——与椭圆切线相关的定量问题赏析

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1、内涵探究，外延拓展——与椭圆切线相关的定量问题赏析江苏省江浦高级中学(211800)徐爱勇解析几何作为高考的一个必备考点，颇受命题者的青睐．然而对于广大考生来说却倍感头痛，常常对其望而生畏．特别是有些解几试题，条件看起来简捷明了，所要研究的对象也很常规，可真正动起笔来就会左右为难，不知所措．究其原因，笔者认为这与我们在组织教学时，受“应试”的影响而产生的浮躁作风一“急功近利”有很大的关联．在例题的讲解中，为了赶进度，只注重讲思路、讲答案+缺乏及时的变式训练，没有从题目中提炼出最具本质的东西出来，不求知识的迁移同化，不求思想方法的融会贯通．因此，当学生拿到一个问题（有时就是原题）后

2、还是不会思考，就不足为奇了。鉴于此，本文试通过三个案例，以“椭圆的切线”为背景，来赏析模考题以及高考题中与椭圆切线相关的定点、定线、定值问题，并进行内涵探究和外延拓展，以期达到举一反三，以点促面的教学功效。赏析“定点”问题案例1（2014届苏州大学附属中学5月份模赏析：（角度1-内涵探究）显然，在推理和演算的过程中，有些环节可以进行适当地优化。不过每一种解法的优劣也因人而异，解题应遵循自然原则。现罗列如下：环节1：如何求出切线方程？我们最易想到联立消元解方程组，若我们平时注意积累，不难想到结论“椭圆上任意一点的切线数求导或隐函数求导，这些都是解决问题的可行性方案。环节2：如何求出

3、圆的方程？我们利用圆的方程的不同形式都可以解出，就是这样一个非常朴素的运算环节，我们也可以利用结论“以线段两端点为直径的圆方程的形式”来提高运算的流畅性。环节3：如何选择参变量来表示几何量？纵观解几运算的变量选择，笔者认为大概有如下类型——以点的坐标为参量、以直线的斜率为参量、以几何角度为参量或以几何线段长度为参量等．其实，无论选择何种变量，在本质上无优劣之分，主要还是取决于解题者对题目的理解力。（角度2一外延拓展）我们对其进行解后反思，不难发现，所求定点即为椭圆的焦点、是偶然、还是必然？经查阅，可以发现本题和2012年福建省高考珲科第19题较相似．题目如下：(2)设动直线l:y

4、=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。(存在，点M(1，0）若我们对本题的条件和结论进行变更，很快就可以得到2013年湖北省数学竞赛初赛第6题，设F为我们对解析几何的复习备考指明了一条明确的方向——“组题教学法”。组题，是一个艰辛的过程，也是一个长期积累的过程，需要教师的精心收集整理，若我们一线教师能够持之以恒地坚持，高三数学备考复习可事半功倍。2、赏析“定线”问题案例2（2009年辽宁卷理科第20题）已知椭赏析：（角度1-内涵探究）细细评来，

5、本题串联几何关系到代数运算的重要桥梁就是构建相似几何量“直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数”：而我们把这样的相似几何量改为“相互垂直的两条直线”，即得到了2013年湖北省竞赛初赛第6题的（角度2-外延拓展）我们不妨从极限的角度来研究，将点E和F视为同一点，那么直线EF的斜率就转变为椭圆上一点的切线的斜率．由此我们可以推测出一般性结论：经过圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）通径PQ的一个端点P，作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M，N，则直线MN平行于通径另一端点处的切线，（证明从略）在角度1的背景下，我们再对题目的条件和结论进行变更，不难得出2012年安徽卷理科第2

6、0题：如图3，F1(c，o)，F2(c，o)分别是椭圆c:(1)若点Q的坐标为(4，4)，求椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆G只有一个交点。我们的老师常会有这样的困惑：类似的问题讲过多遍，学生在复习的过程中也做了相当多的习题，为什么在考试时还是经常举步维艰或一做就错呢？笔者认为，这和我们老师在习题讲评中的立意不到位密切相关，在学生的脑海里甚至在一些教师的脑海里，这些本应相关的问题，全都处于“孤立无援”的状态，从而导致对这些问题缺乏系统思考．学生能否解出题目，有点开“碰碰车”的感觉。(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线f与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定

7、点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由。b>O)始终保持相切，而点P就是其切点倘若我们再结合于圆锥曲线的相似性，势必会得到一系列相关的结论．有兴趣的读者不妨可以展开研究。在复习教学中，习题的讲解不能是就题论题，要增加解后反思环节，引导学生发现问题的本质。使其既知其然又知其所以然，从根本上解决学习中的困惑，学会触类旁通、举一反三．要注意从问题的条件、结论、设问方式等角度入手进行适当地变式，让学生独立解决，帮助学生内化其解题思想方法，在变