圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)

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1、.平面与圆锥面的截线一、直观感受:观察平面截圆锥面的图形,截线是什么图形? ....改变平面的位置,可得到三种曲线,它们统称为圆锥曲线(下图由软件《立几画板》制作): 二、分类探究:从平面图形入手,开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系:....将等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥,而且这个平面不通过圆锥的顶点,会出现哪些情况呢?如下图:归纳提升:定理  在空间中,取直线l为轴,直线l'与l相交于O点,其夹角为α,l'围绕l旋转得到以O为顶点,l'为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记作β=0),则:(1)β>α,平

2、面π与圆锥的交线为椭圆;(2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;(3)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线。 三、证明结论:利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切)证明:β>α,平面与圆锥的交线为椭圆.....如图,利用切线长相等,容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值. 下面证明:β=α时,平面与圆锥面的交线为抛物线。........下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率:....换个角度看图:....容易知道:截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆

3、锥顶角一半的余弦之比. 四、知识运用....用图霸制作三维直观图:....解答参看下图:五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中,主要制作步骤如下:1.作全自由点O,过点O作平行于z轴上的点B,过B作平行于x轴上的点C,作点B、C关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C,作圆锥,选取点O、B’、C’,作圆锥.....3.在圆B上任取点D,作D关于B对称点,连接OD,OD’,在OD上任取一点E,以E为圆心画过点D’、D的心点圆,在圆E上任取点F,连EF,它表示截面的位置,可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线,与轴BB’交

4、于O1;作角DEF的平分线,与轴BB’交于O2,它们就是双球的球心.....5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线,垂足分别为F1、F2,它们就是焦点.6.选取点O1、F1,作球O1(图中显示大圆,光照后显示为球),同法作球O2.7.取线EF上的点G、H,作GDO垂线上的伸缩点I,作点I关于点G的对称点I’,按向量GH平称点I、I’,得点I2、I".添加面II2I"I’,连接四边,表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制;点F控制其转动.....8.添加下底圆上的点J,连结OJ交截面于点K,选取点J、K,添加轨迹,它就是截线,如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点

5、E’,EE’交圆于点G1,EG1平行于母线OD’,添加点F到点G1的动画,名为“抛物线”.....10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.  课件下载:共享文件下载中心相关文章:1  利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2 平面与圆柱面的截线更多文章:《几何图霸》文章列表 几何图霸网站:http://www.jihetu.com...

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