圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)

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1、.平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？ ....改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）： 二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：....将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理  在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平

2、面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。 三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.....如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值. 下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。........下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：....换个角度看图：....容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆

3、锥顶角一半的余弦之比. 四、知识运用....用图霸制作三维直观图：....解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.....3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交

4、于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.....5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.....8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点

5、E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.....10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.  课件下载：共享文件下载中心相关文章：1  利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2 平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表 几何图霸网站：http://www.jihetu.com...