有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用

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1、有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用　　有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用1.绪论1.1课题研究背景及意义对于稳态问题,温度场求解的思路是由导热微分方程结合边界条件求得,在过去的100年里,关于热传导问题的诸多解析方法相继被提出,即便如此,解析方法在实际工程问题中的运用仍然具有很大局限性,因此,众多数值方法应运而生,其中成果最显著的是有限元法,其有效性和通用性已经被大量理论分析和实际计算所证明。另外还包括有线条法,边界元法[4]等,这些数值方法各有优势,也各有不足之处。1990年,袁驰教授综合了康托洛维奇法,有限元法

2、和有线条法的思想精华,提出有限元线法,它一种以结线为基本未知2量,以常微分求解器为支撑的半离散方法,自提出后便迅速运用于各领域的研宄计算,其中固体力学的运用已较为成熟[5-16]。近年来我校课题组又将有限元线法引入到温度场问题的研宄中来。本课题组关于有限元线法在温度场中运用研宄已开展多届,05级研究生利用有限元线法对土壤温度场进行研宄,构造了线性有限元线法矩形单元,并编写通用程序对实际工程问题进行求解,计算结果表明,其方法具有可行性,符合预期。06、07、08级研宄生对空间轴对称单元_、平面等参元[19]进行了分析,并进一步完善通

3、用程序。10级师姐对单元边界搭接问题进行了探讨;11级师兄则将有限元线法引入到空间,构造了矩形直条单元[2'〕。到此为止,本课题组己成功运用有限元线法解决平面以及空间规则区域的温度场问题,但是对于空间的不规则问题,仍然没有解决,在此背景下,本文对有限元线法解决空间不规则区域热传达问题展开了研究,进一步完善推广有限元线法在温度场中的运用。.........1.2课题组历届研究成果介绍本课题从2005级任晓丽将有限元线法首次引入到温度场问题的计算以来,经过历届的研宄,取得丰硕的研究成果,下面将对此做简单的介绍。有限元线法平面参

4、数单元张越强通过拉格朗日插值建立平面参数,单元模型如下图1.2,在对平面问题温度场泛函的变分基础上由最小势能原理得到如下ODE体系,另外因为涉及空间不规则问题,若将单元温度场插值函数直接带入泛函公式进行运算则公式推导工作量巨大,因此在插值函数处理上统一釆用矩阵运算,这使得在对单元势能函数的变分运算上,大大降低了公式推导工作量,同时由于釆用矩阵运算,使不同边界条件的ODE体系得到统一,避免了公式推导工作的重复混乱。........2.空间曲线单元有限元线法热传导问题分析2.1.有限元线法有限元线法[22-24]是一种以常微分方程组(

5、OrdinaryDifferentialEquation)求解器(Solver)为软件支持的半解析方法,最初是由袁驷教授在20世纪90年代初提出的。其核心思想是:取结线函数作为基本未知量,利用参数映射技术将FEMOL单元映射成局部坐标系下的规则单元,在局部坐标系下进行函数插值,然后应用泛函驻值条件导出一组常微分方程及相应的边界条件,最后选用高质量的常微分方程求解通用程序,得到满足用户预先指定误差限的常微分方程解答,从而使问题得以求解。有限元线法的基本步骤是:(1)离散化:将结构划分为由结线和端边组成的单元,从而将结构离散为一个个单

6、元的集合体。(2)单元分析:取单元结线温度函数作为基本未知函数,单元内部温度场用结线温度函数插值表示,进而写出用结线温度函数表示的单元半离散总势能泛函。(3)整体分析:对单元的总势能泛函进行集成得到结构的总势能泛函,然后利用总势能最小原理推导出一组用结线温度表示的常微分方程(ODE:OrdinaryDifferentialEquations)及其相应的边界条件,即有限元线法的ODE体系。(4)求解ODE体系:选用现有高质量常微分方程求解器,对所得ODE体系进行求解,从而得到满足用户指定误差限的常微分方程的解。.........2.

7、2.单元离散方法整体研究对象被结线和端线分割成离散的单元。沿着离散方向的线,我们称之为结线,其余的称为端线。图2.1给出了一有限元线法空间问题的一种典型划分。图中①,②表示单元码,⑴,⑵,表示整体结线标号,1,2,...则表示结点号。仅由端线组成的面,我们称之为端面,由结线和端线组成的面,则称为结面。如此,每个单元都由四个结面和两个端面构成。在COLSYS完成运算后,用户想要输出在点X处的求解值Z,则只需调用子程序APPSLN(X,Z,FSPACE,ISPACE)。程序APPSLN主要功能是建立子程序APPROX的标准调用形式,使

8、其输出在点X处的逼近解Z,其中子程序APPROX所需的参数是在COLSYS返回时事先保存在ISPACE和FSPACE里的。另外值得注意的是,因为在FORE模块里,删掉了第一类边界条件的结线,所以调用COLSYS求解后输出的是不含有第一类边界条件的结