桥梁结构振动与稳定分析研究报告

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1、东南大学—交通学院东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月东南大学—交通学院目录东南大学—交通学院2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。设薄板在平衡位置的挠度为

2、，这时，薄板所受的横向静荷载为。则薄板的弹性曲面微分方程为：（a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力和它所受的横向荷载q成平衡。设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力成平衡，即（b)薄板的加速度是，因而每单位面积上的惯性力是其中为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为(c)将式（c）与式（a)相减，得到由于不随时间改变，，所以上式可以改写成为(d)第13页东南大学—交通学院命薄板在任意瞬时的挠度为，而式(d)成为或（2-1）这就是薄板自

3、由振动的微分方程。微分方程(2-1)有如下形式的解答：（2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数标示的。为了求出各种振形下的振形函数，以及与之相应的频率，我们取代入式(2-1),然后消去因子，得出所谓振形微分方程（2-3）如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式（e）求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外

4、来因素无关。实际上，只有当薄板的为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程（2-5）现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为第13页东南大学—交通学院及，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数及。设初始条件为则由（2-2）式得于是可见，为了求得及，必将已知的初挠度及初速度展为的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即

5、任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。2.2四边简支的矩形薄板的自由振动取振形函数为（2a）其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得图2-1为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有（2b）将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式（2c）命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率（2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为第13页东南大学—交通学院而薄板的挠度为（2d)则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为（2e)初挠度及初速度标示成振形函数的

6、级数为：（2f)按照级数展开的公式，有（2-7）根据初始条件由式（2e)及式（2f)得由此得代入式（2e),即得完整的解答如下：（2-8）2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a的两边为简支边。取振形函数为第13页东南大学—交通学院（3a)其中Ym只是y的函数，可以满足该简支边的边界条件。将式（3a）代入（2-5），得出常微分方程（3b）它的特征方程式图2-2而这个代数方程的四个根是（3c）大多数情况，，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做注意，取正实数（3d)则上述四个跟成为及，而式（b)的解答可以写成从而得振形函数的表达式（

7、2-9）在少数情况下，，而式（3c)所示的四个跟都是实根。这时，取正实数（3e）则振形函数的表达式成为第13页东南大学—交通学院（2-10）其中至由y=0及y=b处的四个边界条件求出。2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即（4a)但其中，而仍把方程（4a）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即（4b）为了求出及相应的，取（4c）代入方程（a)，仍得（其）（4d）方程（4d）可以改写为也就是（4e）显然（4e）的解也是（4d)的解。取，n=0,1,2,...（4f）将式（4f)代入式（4e）,得常微分方程或引用量纲一的变量而得这一微

8、分方程的解答是（4g）其中及分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数，及分