高三数学第二轮专题直线与圆

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1、高三数学第二轮专题直线与圆江苏省木渎高级中学沈雪明一、复习要点1、熟练掌握探求直线和圆的方程，掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断和性质的运用；2、掌握与直线和圆有关的探索性问题、存在型问题、定点定值的解题策略。二、典型例题例1在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆与直线：，恒有公共点，且要求使圆的面积最小.（1）写出圆的方程；（2）圆与轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；（3）已知定点Q（，3），直线与圆交于M、N两点，试判断是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线的方程；若不存在，给出理由.【分析】（1）一般来说，求圆的

2、方程有两类办法：①几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．本小题关键是找到直线经过定点M（4,3），这样符合条件的圆，就是以OM为直径的圆；（2）对条件的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少；（3）充分利用直线与圆几何性质.【解答】（1）因为直线：过定点T（4，3）,由题意，要使圆的面积最小,定点T（4，3）在圆上，所以圆的方程为.（2）A（-5，0），B（5，0），设，则……①，，由成等比数列得，，即，整理得：,即…②由（1）（2）得：，，（3）.由题意，得直线与圆O的一个交点为M（4，3），

3、又知定点Q（，3），直线：，，则当时有最大值32.即有最大值为64，此时直线的方程为.【反思】研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点．在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．才例2如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【分析】（1第18页

4、共18页）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论.【解答】（1）设直线的方程为，即．因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为．化简，得，解得或．所以直线的方程为或．（2）①证明：设圆心，由题意，得，即．化简得，即动圆圆心C在定直线上运动．②圆过定点，设，则动圆C的半径为．于是动圆C的方程为．整理，得．由得或所以定点的坐标为，．【反

5、思】1、第（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。ODCBAyx11例3、已知圆O：，O为坐标原点．（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．①求轨迹E的方程；②过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大

6、值．（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．【分析】（1）①解决与圆的方程有关的问题时，数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质可以使解题过程简化．由边长为的正方形ABCD可知，是等腰直角三角形.在中，已知OB、BC及，由余弦定理可求得OC是定长；（1）②直接求出弦长、，利用基本不等式求得结果；（2）对正方形ABCD位置的讨论，即分A、B、C、D按顺时针方向和逆时针方向的讨论.【解答】（1）①连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，，2分所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方

7、程为；②设点O到直线的距离分别为，因为，所以第18页共18页，则，则≤4=，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为；xODBA11Cy（2）设正方形边长为a，，则，．当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中，，即，xODBA11Cy由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在中，，即，由，此时，综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．【反思】1、通过几何图形的特点，用几何法求圆的方程也是一个有效途径；2、（1）②还可以根据直线、与圆的位置关系，将a、b转化到圆O弦、弦心距、半径之间的关系来处理．三、检测巩固检测1、已知圆．（1）直线：与圆相

8、交于、两点，求；（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为第18页共18页，