立体几何问题平面化探析

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1、立体几何问题平面化探析摘要：把空间几何问题平面化，由简单问题深入，研究综合问题(实际问题)所存在的一般规律，从而培养学生的转化问题和归纳的思维能力。关键词：平面化；转化；能力高中数学中的立体几何问题，常常需要转化为平面几何问题，有时可以起到化繁为简的作用。下面，笔者就一个简单问题，谈谈自己的思考。问题1:如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点。(1)求证：CD面ABB1A1;(2)求证AC1面CDB1;(3)线段AB上是否存在点M，使得面CDB1。分析：(1)一般地，线面垂直的证明问题都可转化成线线垂直或面面垂直，

2、本题有题设易知，故只需证明即可。(2)线面平行的问题常常转化为线线平行或面面平行题思路一：考虑到点D为AB的中点，可以考虑连接交于点F，连DF，只需证明。思路二：可以取的中点，连问题转化为证明即可(3)本题属于探索性问题，可以假设存在点M，由(1)知CD面ABB1A1，故只需AMDB1，从而问题转化为平面几何问题，简化了问题。解析：（1）、（2）证明略.（3）由分析可知，问题转化为在矩形的边AB上找一点M，使得成立，设AC=a，则AB=，，要使的，由平几知识可知，故点M与点B重合。总结1:线面垂直的探索性问题通过转化

3、，成为一道平面几何问题，从而把问题简化。问题2:在棱长为的正方体中，求面和面的距离。分析：考虑到面和面的位置关系为平行，且同时和直线垂直，从而可以把问题转化为：求夹在两平行平面间的线段长度问题。解析：连结，设线段与面和面的交点分别为点E、F，由于E、F都在平面中，如右由平几知识可知，而，所以总结2:立体几何问题平面化，从而把平行平面所夹线段长度问题转化为点与点之间的距离，突出了问题的本质，简化了解题过程。问题3:将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成角。则水晶

4、球的球心到支架P的距离是.分析：设球心为0，球与PA、PB、PC的交点分别为A、B、C，贝U，由于PA、PB、PC两两成角，所以，PA=PB=PC=AB-AC-BC,从而，三棱锥P—ABC为正四面体，故点P在面ABC上的射影为正三角形ABC的中心，又0A=0B=0C，所以球心0在面ABC上的射影也是正三角形ABC的中心，设三角形ABC的中心为点Q，则三点P、Q、0共线。这样就可以把一个实际问题抽象为立体几何问题，即在空间组合体中，为正三棱锥，为正四面体，且，如图1，已知0A=5，求0P考虑到，且点Q为三角形ABC的中

5、心，问题可转化为：平面中，三角形OPA为直角三角形，角A为直角，AQ为P0边上的高，其中，A0:5,求0P的长。通过这样的转化，使得很复杂的实际空间几何问题转化为简单的数学平面几何问题，使得问题的难度大大的降低简解如下:解析：设AP=a，0P=x,由于Q为三角形ABC的中心，所，再由等面积法可知所以，球心到支架点P的距离为总结3:—道复杂的立体几何问题，通过两次等价转化，变成一道简单的平面几何问题，这就是转化的魅力。空间几何问题转化为平面几何问题是解决立体几何问题的常用方法，有利于激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的

6、空间想象能力、运算能力和问题的转化能力。如：问题3,经过这样的分析和转化，学生可以很快地掌握这一类问题的解法。当然，还可以把这个问题引申为更一般的情形：将一个半径为cm的水晶球放在工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成的角为，则水晶球的球心到支架P的距离是.（答案为）