§5.1-5.4(十三)

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1、第五章随机振动对于确定性振动，以相同的条件重现振动时，在预定的时刻将出现预计的振动。因此，确定性振动中的物理量在将来某一时刻的值是可以预测的。比如：单自由度系统的简谐强迫振动，只要系统不变，初始条件不变，激励不变，则系统响应是确定的，也不变。对于随机振动，以相同的条件重现振动时，会发现振动的物理量没有重复性，即无法预测其在将来某一时刻究竟取什么值。但随机振动服从概率统计规律，因此随机振动的振动规律可以而且只能用概率统计方法描述，只能满足于知道物理量的统计值。因此，与确定性振动不同的是，只能知道振动系统激励和响应的统计值。本章讲述随机振动

2、中最基本的理论。首先，介绍描述随机振动中的物理量的描述方法，也就是随机振动的数学理论，重点是随机振动中极为重要的相关函数和功率谱密度函数。其次，讨论受随机激励的振动系统的激励、系统特性、响应三者之间的关系。§5.1随机过程过程：是指物理量随时间变化的情况。在确定性振动中，它的任何一个随时间改变的物理量是可以准确预知其变化的。它的特点是，同样的条件引起同样的振动。在随机过程中，随时间改变的物理量是无法准确预知其变化的，但其变化规律服从统计规律。从数学上讲，随机振动中涉及的随时间改变的物理量就是随机过程。以汽车平顺性试验为例，具体看一个随机

3、过程：汽车在相同的条件下(同样的道路，同一辆汽车，乘员及载重量不变，驾驶员操作条件完全相同，等等)重复行驶，在座椅上放一个加速度传感器，测量该处的垂直加速度。这个加速度随时间的变化的过程a(t)就是一个随机过程。汽车每行驶一次，无论是否测量，该处都有一个随时间变化的加速度ar(t)，称为随机过程A(t)的一个样本函数。已测得的样本函数称为随机过程的一个“实现”，它已是一个已知的确定性函数。如果我们测出了n个样本函数，就意味着已经知道了随机过程a(t)的n个“实现”。但对没有“实现”的样本函数，还是无法知道它们随时间变化的情况。实现1实现

4、n实现2实现3从已知的样本函数ar(t)找出的随机过程a(t)变化规律，只能是统计意义上的。另外，在理论上，样本函数ar(t)的定义域为但在实际中我们只能得到ar(t)在一段时间限有限区间上的值，如在区间0≤t≤T内样本函数的情况：ar(t)，，这称为随机过程a(t)的一个记录。已“实现”的样本函数没有“实现”的样本函数必然的联系概率统计规律任何一个随机过程X(t)是一系列(一般是无穷多个)样本函数的集合，记为：还可从另外的角度去看随机过程X(t)：给定一个时刻t1，X(t1)是一个随机变量，它的取值范围是随机过程X(t)所有的样本函数

5、xr(t)在t1时刻的值的全体{xr(t1)}。称随机变量X(t1)为随机过程X(t)在t1时刻的截口或状态。显然，随机过程有无穷多个随机变量。从这点看，随机过程又可被认为是由无穷多个随机变量构成的随机变量系。要注意的是，这些随机变量之间是有密切联系的。本章用大写字母表示随机过程和随机变量；小写字母表示样本函数。如：X(t)表示随机过程，而X(t1)和X均指随机变量；x(t)和xr(t)是随机过程X(t)的样本函数。§5.2随机过程的数字特征1)随机过程是样本函数的集合，因此可以逐个描述样本函数，从而得到随机过程的性质，这种描述称为时域

6、描述。又称为样本平均。2)随机过程既然是随机变量系，就可以用描述随机变量的方法来描述随机过程。称为集合描述；或者集合平均。描述随机过程的统计量规律的常用方法：1)用n维概率分布函数在时域描述随机过程；2)用n维概率密度函数由集合描述随机过程。即：根据随机过程的样本函数和随机变量系的概率分布函数或概率密度函数描述随机过程。实际上，上述两种函数都难以求得，随机过程X(t)最基本的数字特征有：1）均值：数学期望2）方差：标准差3）自相关函数、互相关函数1．均值：数学期望。x表示随机过程X(t)x的一次方与一维概率密度函数的乘积＝随机变量X(t

7、1)的一阶原点矩设X(t)是一个随机过程，则随机变量X(t1)的均值一般与给定的时刻t1有关，即：a)随机变量的均值：在t1时刻为x的概率随机变量X(t1)的均值＝X(t1)的数学期望。因此有：对于相同条件下等概率的样本函数xr(t)，均值可以写成：称为随机过程按截口或状态的平均。样本函数时域描述样本平均随机变量集合描述集合平均X(t)的所有样本函数在t1时取值的集合平均。随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t)的样本平均（时域均值）：随机过程X(t)在时域的平均值b)样本函数的均值：样本函数时域描述样本平均随机变量集合

8、描述集合平均2．方差a)方差的集合定义（随机变量的方差）x减均值的二次方与一维概率密度函数的乘积＝随机变量X(t1)的二阶中心矩随机过程X(t)的标准差，它表示X(t)在t1时刻对均值x(t1)的偏离程