16点估计、估计量的评选

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1、参数的点估计估计量的评选估计理论是数理统计学的重要内容之一。一个随机变量，当它的分布类型为已知时，如何通过抽样研究，对它的分布函数或密度函数的参数作一个合理的估计？当我们感兴趣于它的某些数字特征时，又如何利用子样提供的信息去作估计？估计量的“最佳”评选标准是什么？参数的点估计用子样的一个统计量来作为总体某未知参数或某数字特征的估计量的方法称为点估计。将样本观测值代入估计量得到一估计值。参数的点估计点估计之方法1——样本数字特征法这种方法不只局限于数字特征的估计，事实上某些重要分布的分布函数或分布密度的参数与数字特征有关。1.以样本均值作为总体均值的估计量即：2.以样本方差作为总体方差的估

2、计量即：参数的点估计点估计之方法1——样本数字特征法得：例1已知随机变量X服从指数分布，X1，X2，...X20是它的一个样本，试估计X的分布密度中的参数。解：已知又参数的点估计点估计之方法2——矩法估计当要估计的参数比较多时，样本数字特征法是不够用的，要用——设是一随机变量，是它的一个样本。称为样本的阶原点矩。若存在，则称之为X的阶原点矩。记作若存在，则称之为X的阶中心矩。记作称为样本的阶中心矩。矩法估计：参数的点估计点估计之方法2——矩法估计设是一随机变量，是它的一个样本。显然，随机变量的1阶原点矩正是它的数学期望：随机变量的2阶中心矩正是它的方差：这是总体方差除样本方差之外的另一估

3、计量。矩法估计：我们有：我们有：例2设是一随机变量，是它的一个样本，且X的分布密度如下：试估计参数的值。解：由方程（1）至（5），可解得未知参数之估计量：点估计之方法3——极大似然法例3设盒子里装有许多白球和红球，不知道哪种球多，只知道两种球的比例是3:1，我们希望通过实验去判别白球占的比例是1/4还是3/4。解：采用有放回抽样方式从盒子里抽取3个球，记白球数为X。则其中是1/4或3/4，是待定参数。就是1/4或3/4为参数值计算二项概率得下表：显然，当实验结果是X=0或1时，我们认为反之，当实验结果是X=2或3时，我们认为点估计之方法3——极大似然法参数的点估计就是1/4或3/4为参数

4、值计算二项概率得下表：显然，当实验结果是X=0或1时，我们认为反之，当实验结果是X=2或3时，我们认为因为子样是来自总体的，它能很好地反映总体的概率分布特征，所以在作参数估计时，应从子样的观察值出发，选取使得子样落在观察值的邻近的概率达到最大的参数值作为总体参数值的估计值。这就是极大似然法的原理。点估计之方法3——极大似然法参数的点估计定义6.2——设连续型总体的概率密度函数为是未知参数。样本的联合密度函数（似然函数）记作对固定的样本值，若有使则称参数是的极大似然估计值。对多个参数的极大似然估计的定义类似。对离散型情形极大似然估计的定义类似，以代替则可。点估计之方法3——极大似然法参数的

5、点估计对多个参数情形，极大似然方程组由各偏导为零给出。解极大似然方程可得参数的估计值。以上式子求导更为简便，得另一极大似然方程：又例4设是一随机变量，是它的一个样本。X的分布密度如下，求参数的极大似然估计量。其它解：似然函数（当时）：由似然方程：参数的极大似然估计量为估计量的评选标准用不同的估计方法或从不同的角度出发作估计，很有可能得到不同的估计量，怎么判别出哪一个“更佳”呢？无偏性定义6.3——设是参数的一个估计量，若成立，则称是的无偏估计量。如：设是一随机变量，是它的一个样本。因为所以样本均值是总体均值的无偏估计量。因为为方便起见，记总体均值为方差为所以样本方差是总体方差的无偏估计量

6、。所以与有相同的和估计量的评选标准因为所以除样本均值外，总体均值有许多无偏估计量。那么，当一个参数的无偏估计量不只一个时，怎样判定哪一个更好呢？设是一随机变量，是它的一个样本,若估计量的方差较大，即各估计值的差异较大，于是，用一个具体的估计值去代表总体参数时易产生较大的误差。所以我们从估计量的方差的角度给出另一评选标准。估计量的评选标准二.优效性（有效性）定义6.4——设都是参数的无偏估计量，若，即则称较优效（有效）。当样本容量固定时，使达到最小值的称为的优效估计量。估计量的评选标准二.优效性（有效性）设是一随机变量，是它的一个样本,因为所以，作为总体期望的估计量，较更佳。进一步可证，是

7、总体期望的优效估计量。估计量的评选标准无偏性和优效性（有效性）是估计量的两个主要评选标准，要做到两者兼顾，方能找到“最佳”估计量，比如，当无偏估计量的方差都不足够小时，用它的某观察值作为总体参数的估计值仍会产生较大误差，这时我们应考虑方差较小的略有偏差的估计量。这就是所谓的组合性评选标准。此处不详述。利用MINITAB求概率及作图输入数据计算分布密度值计算分布函数值利用MINITAB求其它函数值及作图输入数据多么优美的曲线！作的图形