2014二次函数预习复习专栏讲义

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2、二次函数【知识清单】※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）①一般式：

3、②顶点式：，顶点坐标为③交点式：3、二次函数的图像位置与系数之间的关系①：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，则抛物线的开口越小；当越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。②：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴（即轴上方）；当时，抛物线与轴交点在轴负半

4、轴（即轴下方）；当时，抛物线过原点。反之，也成立。③：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边；当时，对称轴在轴左边；当（即当时）对称轴为轴。反之，也成立。④特别：当时，有；当，有。反之也成立。4、二次函数的图像可由抛物线向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。5、抛物线与一元二次方程的关系：①若抛物线与轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实根。②若抛物线

5、与轴有一个交点，则一元二次方程

6、有两个相等的实根（即一根）。③若抛物线与轴无交点，则一元二次方程没有实根。6、二次函数的图像与性质关系式图像形状抛物线顶点坐标对称轴增减性在图像对称轴左侧，即或，随的增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小；最大值最小值当时，当时，当时，当时，

7、【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（）【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是

8、一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。【答案】【例2】已知函数是二次函数，则。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且的最高次数为”。故有，解得，综上所述，取。【答案】【针对训练】1、若函数是二次函数，则该函数的表达式为。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点在二次函数的图象上，则的值是（）【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函数的与

9、的部分对应值如下表，则当时

10、，的值为（　　）【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，，由抛物线的对称性可知，，所以，把代入得，，所以二次函数的解析式为，当时，。【答案】【针对训练】1、(2002年太原)过,,三点的抛物线的顶点坐标是（　）2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（）【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，则与的函数关系式为（　　）【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是，【答案】【针对训练】

11、1、（2002，太原）过，，三点的抛物

12、线的顶点坐标是_____。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数的关系）【例1】（2012，兰州）已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（）不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数有最小值1，所以，，，所以。【答案】【针对训练】1、二次函数的最小值是。2、（2013，兰州）二次函数的图象的顶点坐标是（）3、抛物线的顶点坐标是（）【例2】（2012，兰州）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位先向左平移2个单位，再向下平移3个

13、单位先向右平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】【针对训练】

14、1、（2012，南京）已知下列函数：（1）；（2）；（3）。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有（填写所有正确选项的序号）。2、（2009，上海）将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）【例3】（2013，长沙）二次函数

15、的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，与轴有两个交点，所以，，，且当时，。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（）方程的两根是，当时，随的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知，