回归定义启动思维

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1、回归定义启动思维　　摘要：在解析几何中，运算是一个困扰学生的一个沉重的包袱，是长期占据在教师心里的一个病根，某种意义上说是数学高考成绩的晴雨表。　　关键词：定义思维经验交流　　在解析几何中，运算是一个困扰学生的一个沉重的包袱，是长期占据在教师心里的一个病根，某种意义上说是数学高考成绩的晴雨表。在这个方面，笔者作出了一定程度的研究工作和尝试，结合多年来的教学经验总结，得出了一定的心得体会，现将本人的一些做法与大家共同交流。　　一、利用各种曲线的定义，激活学生的数学思维能力，多想少算，以灵活、深广的思考代替复杂的代数运算。　　例

2、1：已知双曲线为的右焦点为，（）,试在双曲线线上求一点P，使得的值最小。　　解：如图双曲线的右准线为，设P为双曲线上的任意点。过P作右准线的垂线，垂足为M.由双曲线的定义可以得=。。==只需要M、P、B三点共线时最小。最小值为2。　　例2:已知抛物线方程为y2=2x，抛物线内有一点B(3,2)。在抛物线上求一点P，使得

3、PB

4、+

5、PF

6、的值最小。并求出最小值。　　解：如右图所示，设P为抛物线上的任意点。过P作右准线的垂线垂足为M.由抛物线的定义可以得，于是有

7、PB

8、+

9、PF

10、=

11、PB

12、+

13、PM

14、。要使

15、PB

16、+

17、PF

18、最小，

19、只需要M、P、B三点共线时最小。最小值。4　　通过以上三例说明教师在进行圆锥曲线教学时，以典型案例为载体分析解决圆锥曲线最值的方法非常重要，让学生知道在学习中定义对解决问题的重要性，学到了一类问题的解决思维和方法，圆锥曲线中的点到焦点距离与点到准线的距离的相互转化，灵活灵活圆锥曲线的统一定义来解决大量的计算问题。上升为：已知在圆锥曲线的内部有一个定点A和焦点F，在圆锥曲线上的一个动点P，求?PA?+?PF?/e的最小值的问题。这类问题是将?PF?/e转化Ｐ到准线的距离，利用几何图形来加以解决。　　二、吃透定义，巧求曲线方程　

20、　在解几何中，定义往往是我们获得解题的最佳途径，故吃透定义是我们教学中要倡导的一点，从某种意义上说，是教学效益的一种体现，尤其在求曲线方程时，有意想不到的效果。　　例1、在△ABC中，BC=12，中BD、CE的和为30，求△ABC的重心G的轨迹方程。　　分析：本题乍读上去找不着入题点，如何建系，列式、化简、证明，可谓是一筹莫展。但是，仔细分析就能发现，GC+GB=2(BD+CE)÷3=20，于是，发现G是在以B、C为焦点，长轴为20的椭圆上，但是G与BC不共线。　　解：如图-1所示，以BC所在直线为x轴，其中垂线为y轴，建立

21、平面直角坐标系，则B（-6，0），C（6，0），依题意有G是在以B、C为焦点，长轴为20的椭圆上，但是G与BC不共线，　　故2a=20,2c=12,a=10,c=6,　　∴b=8,4　　A　　EGD　　BCG的轨迹方程为（x≠10）　　例2、已知动点P（x,y）满足，则动点P（x,y）的轨迹是（）。　　A、双曲线B、椭圆　　C、直线D、无法确定　　此题一看更是懵，那简直是不知所云，可认真思考，观察可知表示P（x,y）到定点（3，4）的距离，而再仔细分析，P（x,y）到定直线3x+4y-10=0的5倍，所以，由圆锥曲线的统一定

22、义得知，P（x,y）是以定点（3，4）为焦点，以直线3x+4y-10=0为准线的双曲线，故选择A。　　三、充分理解定义的外延，在解题中认真发掘定义，做到得心应手。以下以几个例子来应证。　　1.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）　　在数列中，　　（I）设，求数列的通项公式　　（II）求数列的前项和　　分析：（I）由已知有　　利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()　　（II）由（I）知,　　=　　而,又是一个典型的错位相减法模型，　　易得=4　　2.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)　　(

23、A)是偶函数(B)是奇函数　　(C)(D)是奇函数　　解:与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.　　，　　，即是奇函数。故选D　　总之，我们在教学中要充分的重视定义的教学，从中不但让学生学到知识，而且要学到用定义解决问题的本领，能让定义有着灵魂，有着强大的生命力，为学生的解决问题的能力得到最大限度的提高，让数学思维成为学生终身受益的有效工具。　　　　4