大学生数学竞赛(非数)试题及答案

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1、姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分满分205101510101515100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.得分评阅人一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算=.(2)设在连续，且存在，则=.(3)若，则.(4)已知的一个原函数为，则=.（1）.(2)3.(3).(4).得分评阅人二、

2、（5分）计算，其中.解：=+--------2分=+-------------4分=-------------5分.5得分评阅人三、（10分）设，其中具有二阶导数，求.解：---------------3分-----7分=---------10分.得分评阅人四、（15分）已知，求的值.解：---------3分令，所以---------6分=------------7分=，-----------9分由，故=，-----------12分即=0-----------13分亦即-------------1

3、4分所以-------------15分.5得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密五、（10分）求微分方程满足条件的特解.解：原方程可化为-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得----------4分=----------5分=-----------6分=.---------------7分所以原方程的通解是.----------8分再由条件，有，即，-----------9分因此，所求的特解是.----------10分.得分评阅人六（10分）、若函数在内具有二

4、阶导数，且，其中，证明：在内至少有一点，使。证：由于在内具有二阶导数，所以在上连续，在内可导，再根据题意，由罗尔定理知至少存在一点，使=0；--------3分同理，在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点，使=0；---------6分5姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密对于函数，由已知条件知在[，]上连续，在（，）内可导，且==0，由罗尔定理知至少存在一点（，），使，而，），故结论得证----------10分.得分评阅人七、（15分）已知曲线和直线，围成平面图形.（1）求平面图形的面积；（

5、2）求绕轴旋转所成立体的体积.解：（1）-----------2分-----------4分-----------5分（2）因为，-----------6分所以-----------9分=------------11分=-----------13分=.--------------15分.得分评阅人八、（15分）设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定：和，求.解：，（1）---------4分5由两边对求导，得=0，--------------7分即---------------9分又由两边对

6、求导，得，-----------11分即-----------13分将其代入（1）式，得.-----------15分.5