对《对教科书上分期付款问题算法的质疑》一文的商榷

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1、对《对教科书上分期付款问题算法的质疑》一文的商榷全日制普通中学教科书(必修)《数学第一册(上)》(2006年人民教育出版社)第144一145页的“研究性学习课题：数列在分期付款中的应用”中，提出问题：一般地，采用等额本息分期付款方式贷款a元，m个月将贷款全部付清，月利率为「，那么每月付款额的计算公式是什么？在配套的《教师教学用书》上，给出以上问题的解答：(1)起初的贷款a元到第m个月末产生的本利和是a(1+r)m；(2)设每月末均还款x元，则第1，2，…，m-1，m个月末的还款x元到第m个月末所得的本利和分别是x(1+r)m-1,x(1+r)m-2，…，x(1+r),x元，所以

2、所有还款到第m个月末产生的本利和是x(1+r)m-l+x(1+r)m-2+---+X(1+r)+x=x?(1+r)m-1「元.(3)由公平原则，得a(1+r)m=x?(1+r)m-lr,x=ar(1+r)m(1+r)m-1,即每月末均应还款ar(1+r)m(1+r)m-1元.文m对上述解法提出质疑，认为第(1)步没有问题，但第(2)步中的m次还款到第m个月末的利息应按存款算但以上是按贷款算的(一般来说，期限相同的存款利率比贷款利率低)，并且期限增加时利率不会降低(存款、贷款都是如此)，但以上m次还款的存款利息的利率均是按更长期限的m个月的贷款利息的利率算的，所以第(3)步的等式

3、是没有理由的，得到的结论应当是a(1+r)m>x?(1+r)m-lr,x>ar(1+r)m(1+r)m-1.即等额还款时每月末的还款额应当多于ar(1+r)m(1+r)m-1元，以上算法使得银行(国家)吃亏了.笔者经过认真思考，认为文［1］所提的质疑是错误的.实际上，第1个月末还款x元后，银行不应该再对这x元，按月利率为r收m-1个月的利息，但a(1+r)m中显然仍然对这x元，按月利率为r■收m-1个月的利息.为了公平，左边必须考虑将这已还款的x元看作“客户贷款给银行”m-1个月，而不能将这x元看作“客户存款给银行”m-1个月，因此这里用贷款的利率算是合理的，而用存款的利率反而

4、不合理，也不公平.为了更好地说明这样算的合理性，下面我们采取直接法来计算每月付款额的计算公式.观察一下，可以发现上述等式与《教师教学用书》上所给解法，所得的等式是一致的.这样充分说明了两边都用贷款利率才是合理的，不存在银行(国家)吃亏的问题.文［1］中所给的问题1和问题2的解答，显然也都是错误的.参考文献［1］甘志国.对教科书上分期付款问题算法的质疑［J］，中学数学杂志，2014(7).