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1、深挖习题，归纳总结，提升能力【摘要】对于解数学综合题和难题，很多学生都感觉难，找不到解题思路.若注秉归纳总结、积累基本图形和结论，寻找解题思路，就变成了“板块”之间的对接，更加轻松.在反比例函数与一次函数图像有两个交点时，有一个重要的结论，利用它可以轻松解决相关的一些难题.本文采集自网络，本站发布的论文均是优质论文，供学习和研究使用，文中立场与本网站无关，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除匕转载的信息，如果需要分享，请保留本段说明。【关键词】反比例函数；挖掘习题；探究；应用著名的科学
2、哲学家波普尔指出：“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题一一愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题.”研究数学就是不断地发现问题和解决问题.一、问题背景，原题再现图1如图1，已知直线y=-x+8和双曲线y=klx（k关0）在第一象限内有两个交点A，B，点A的横坐标为2,求AA0B的面积.这个问题比较简单，常见思路有：如图1，过点A分别作AM丄y轴于点M，AE丄x轴于点E，过点B作BF丄x轴于点F,AE与OB相交于点G.1SAAOB=SAAOD-SABOD；2.SAAOB=SABOC-SAAOC.3.SA
3、AOB=SAAOG+SAABG,S四边形BGEF+SAABG=S梯形BAEF.4.SAAOB=SACOD-SAAOC-SABOD.5.由于此时双曲线和直线关于直线y=x对称，可得AAOCgABOD，于是SAAOB=SACOD-2SAAOC.二、问题提出如果直线AB:y=ax+b(a^O)中a关±1，显然，前面4种思路同样适用.那么，第5种思路还行得通吗？此时0C关0D，显然AAOCgABOD不成立了，但是SAAOC=SABOD成不成立呢？如图1,过点A作AM丄y轴于点M,过点B作BF丄x轴于点F，S△A0C=11
4、20C?AM=1120C?CA?sinZOCD-112OC?CA?OD1CD,S△BOD=112OD?BF=112OD?BD?sinZCDO=l12OD?BD?OC1CD,AC=BD,?tSAAOC=SABOD成立.那么，AC=BD成立吗？三、问题探究，得出结论图2如图2，过点A分别作AK丄x轴于点K，AM丄y轴于点M;过点B分别作BF丄x轴于点F，BQ丄y轴于点Q，AE与BQ相交于点R，连接AQ，QE，BE.易得S矩形AEOM=S矩形BQOF=
5、k
6、,/.S矩形ARQM=S矩形BREF，/.112S矩形ARQM
7、=112S矩形BREF，即SAAQR=SABER，•••SAAQR+SAABR=SABER+SAABR,即SAAQB=SAABE;•••△AQB和AABE具有公共边AB,AAB边上的高相等，AQE//AB.于是得ACQE和BDEQ,•••AC=QE=BD.•••SAAOOSABOD成立.当交点A，B同在其他象限时，结论仍然成立.归纳总结，得出结论：如图1,直线y-ax+b（a矣0）和y轴、x轴分别交于点C，D，和双曲线7=1＜：^（k^O）在同一象限内有两个不同的交点A，B，则AC=BD，SAA0C=SAB0D.
8、四、问题深化探究，一般化结论若交点A，B不在同一个象限，结论成立吗？图3如图3,交点分别在第一、三象限.同理可得SAAQR^SABER,用SAABR分别减去SAAQR和SABER,同样能得到SAAQB=SAABE,同理可得ACQE和BDEQ，所以AC=QE=BD.所以SAA0C=SAB0D成立.交点A，B分别在二、四象限时，结论也成立.因此，可以得出一般性结论：直线y=ax+b（a^=0）与y轴、x轴分别交于点C，D，与双曲线y=klx（k关0）交于两个不同的点A,B,则AOBD，SAA0C=SAB0D.五、应用
9、结论，事半功倍图4例如图4，一次函数y=klx+b的图像过点A（0，3），与x轴交于点D，且与反比例函数y=k2x（x〉0）的图像相交于B，C两点.若AB=BC,则kl?k2的值为.思路分析根据以上结论，可得AB=CD=BC，即B，C为线段AD的三等分点，由直线可D-31kl,0,易得B-llkl，2,根据点B在反比例函数图像上，所以-llkl?2=k2,整理得k2kl=-2.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、推
10、理能力和模型思想、应用意识和创新意识.而探究能力就是最为重要的成分，探宄能力的高低决定着学生的数学素养的高低.教师在教学时，要善于挖掘教材和习题，它们不仅可以有效地让学生巩固知识，同时还具有广阔的探宄空间.长期坚持，有助于让学生逐步养成善于发现问题、分析和解决问题的习惯，提升探究能力.
