在学习内积中应注意的事项

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1、在学习内积中应注意的事项：从内积的概念、投影、两向量的夹角、运算律四方面浅谈学习内积应注意的几点。　　关键词：运算符号；投影；夹角；运算律　　：G633.62：A：1002-7661（2011）09-087-01　　　　内积定义是个新的东西。初学者会觉得难以接受，甚至很抽象，其实只要仔细思索，横纵联系，前后对比，也就会心明如镜，以下是我觉得在学和教的过程中应该注意的几点：　　一、注意内积定义中的运算符号和因素　　=

2、a

3、

4、b

5、，其中等式右边是一个a、b模

6、a

7、、

8、b

9、及它们夹角的余弦的乘积，结果是一个数，我们把它叫做向量a与b的内积（或数量积），记作。从书写上，左边的“”是不能省略的，也

10、不可改为“”，而右边的三者间可写“”也可不写“”，因为右边是表示的普通意义上的乘积。这种运算中包括：方向、夹角（）、长度等几个因素。　　二、注意投影的意义　　这里的投影和初中学过的射影有相似之处，但有本质区别。我们把

11、b

12、叫做b在a方向上的投影，这里的投影成了一个数量，可正、可负、可零的实数，而不是一个向量，这就是与以前学过的射影的区别。　　如上图当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为

13、b

14、；当=1800时投影为。当b在向量a方向上的射影与a相同时，内积是一个正数，当b在向量a的方向上的射影与a相反时，内积是一个负数。当b在a方向上的射影为零时，内

15、积为零。此时，a与b垂直。　　例1：已知，，求a在b方向上的投影及b在a方向上的投影。　　解：=2=2=2　　根据知====　　所以a在b方向上的投影为；b在a方向上的投影为　　三、注意两向量的夹角　　、是非零向量，则、的夹角定义在这个闭区间上=，、平行同向时，反向时为，为了寻找夹角，最好是将两向量的起点移到同一个点。设=a，=b，例2=c，ABC为正三角形时，求证：==　　证明：=；==；　　=；所以==　　四、向量的数量积与实数的乘法运算区别　　１．是两个数相乘，（）是实数与向量的数量积，结果是向量，是向量的数量积，结果是一个数。　　２．注意内积运算不满足消去律和结合律　　例如=不能

16、推出=。事实上==0知，而此时，可与c不等，只须与b垂直即可有=，故消去律不成立，也就是不能有向量约分，没有向量除法。　　当然，向量运算中，也不满足向量结合律，也就是说（）ca（），因为结果是数量，（）c是一个与c共线的向量，a（）是一个与a共线的向量，所以（）c与a（）是不相等的，因此不能随意改变括号标明的运算顺序。　　　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文