单片机浮点数的实用快速降法计

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1、单片机浮点数的实用快速降法计

2、第11浮点数格式IEEE的浮点数标准规定了单精度（4字节）、双精度（8字节）和扩展精度（10字节）三种浮点数的格式。最常用的是单精度浮点数，格式如图1所示。但是这种格式的阶码不在同一个字节单元内，不易寻址，从而会影响运算速度。通常在单片机上采用的是一种变形格式的浮点数，如图2所示。其中的23位尾数加上隐含的最高位1，构成一个定点原码小数，即尾数为小于1大于等于0.5的小数。有关浮点数格式的详细内容请参考有关文献[1][2]。2快速除法的算法原理在16位单片机中只有16位的乘除法，而浮点数的精度（即尾数的有效位数）达24位，因此无法直接相除，但依然可

3、以利用16位的乘除法指令来实现24位除法。不过，如果只进行一次16位的除法必定会带来很大误差，因此问题的关键在于如何消除这个误差，从而达到要求的精度。这其实就是通常数值计算中所采用的预估-修正方法。500)this.style.ouseg(this)">假设两个浮点数经过预处理后，被除数和除数尾数扩展为32位（末8位为0）分别放入X和Y中。邻YL为Y的低16位，并记YH=Y-YL。显然YH≈Y，X/Y与Y/YH相差不多：（X/Y）/（X/YH）=(YH/Y)=YH/(YH+YL)=1/(1+YL/YH)≈1-YL/YH=(YH-YL)/YL可见只需要在X/YH的基础上再乘以一个

4、修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校准值。不难证明这个值已经达到了24位的精度要求。事实上，相对误差满足：500)this.style.ouseg(this)">这说明这个一次校准值完全可以作为最终的结果。3算法的具体实现在具体实现本算法时，主要经过下列步骤：（1）计算预估值Q0=X/YH；（2）计算修正因子Q1=(YH-YL)/YH;（3）计算校准值Q=Q0×Q1，并作为最后结果。500)this.style.ouseg(this)">这里的YH虽仍是32位，但其低16位已为0，计算时可以将它视为16位数，这不会影响计算精度。通过两次16位除法，就可得到精确

5、的32位结果。例如，计算Q0时，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商为Q0的高16位，而16位余数末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余数舍去）。由此得到了32位的Q0。在具体运算中，X应选除以4（X左移2位），以保证Q0不会溢出（YH取高16位）：Q0'=（Y/4）/YH≤(0ffffff00H/4)/8000H=7fffh由于X为32位（末8位为0），这一操作不影响有效数字。而Q1（YH-YL）/YH≤1，不存在溢出的问题。最后计算校准值Q时，有Q=4Q0'Q1。在计算Q0'、Q1时，均进行了两次16位除法，使得Q0'、Q1均为精确的32位，保

6、证了计算过程中的精度，减小了累积误差。对于YL=0即除数只有16位有效数字的特殊情况，直接有Q1=1，还能省去两次16位除法。在计算Q时，则通过3次16位乘法实现了32位乘法，取结果的高32位，即得Q。整个算法至多只须用4次除法、3次乘法和5次加法，就求得了浮点数商的尾数，可见计算效率是很高的，保证了运算速度。浮点数除法流程图如图3所示。4程序源代码限于篇幅，只给出源代码中的关键部分，即有效数字的计算部分。；被除数为x，除数为y；用yh,hl分别表示y的高16位和低16位...；假设x，y的有效数字部分分别在（dx,cx）和（bx,ax）中；计算预估值Q0'=（x/4）/yhs

7、hrlcx,#2;计算x/4divucx,bx;计算（x/4）÷yhldfx,cx;把商暂放入寄存器fx,即Q0'的高16位有；效数字clrcxdivucx,bx；把余数末尾添0后面再除以yhldex,cx；把商暂放入寄存器ex，即Q0'；的低16位有效数字；（fx,ex）=Q0';计算修正因子Q1=(yh-yl)/yhcmpax,0;判断yl是否为0jnegetQ1;若yl非0，计算修正因数Q1ldax,ex;若yl=0,修正因数Q1=1ldbx,fx；（Q0'×Q1）=Q0'，可以直接计算QsjmpgetQgetQ1:ldhx,bx;把yh放于寄存器hx中negaxdecb

8、x;计算yh-yldivuax,hx;计算Q1=(yh-yl)÷yhlddx,ax；把商暂时放入寄存器dx，即Q1的高16位有；效数字clraxdivuax,hx;把余数末尾添0后再除以yh，得Q1的；低16位有效数字ldbxdx；（bx,ax）=Q1；计算Q0'×Q1=(fx,ex)×(bx,ax),只取32位有效数字ldhx,bxmulucx,bx,ex;(dx,cx)=bx×exmuluax,fx；（bx,ax）=ax×fxclrexaddcx,axaddcdx,bxaddcex,0;