湛江一中第四届迎新杯数学竞赛

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1、湛江一中第四届“迎新杯”数学竞赛高二试题满分：150分时间：2018．1．7下午15：00---17：00数学是科学的皇后-----高斯祝同学们在新的一年数学科取得优异成绩！一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡上．1.执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（）．A．B．C．D．2．已知满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为()A．或B．或C．或D．或3．已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向

2、上的投影相等，则等于（）A.B.C.D.4．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数,对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时的周长为（）第四届迎新杯高二试题4/4A.B.C.3D.6．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是

3、()A.B.C.D.7．已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.只有有限个正整数使得B.只有有限个正整数使得C.数列是递增数列D.数列是递减数列8．已知抛物线的焦点到准线的距离为，点与在的两侧，且，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于点，则与的外接圆半径之比为（）A.B.C.D.29.有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都

4、各测试一人，则不同的安排方式的种数为（）A.264B.72C.266D.27410.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则，的因数有，则，那么的值为（）A.B.C.D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应的横线上).第四届迎新杯高二试题4/411.已知数列的通项公式为（表示不超过的最大整数），为数列的前项和，若存在满足，则的值为__________．12．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为______

5、____．13.在正方体中随机取条棱，它们两两异面的概率为14.已知为曲线C:上任意一点，，则的最大值为15．空间四点满足则的值为．16．函数在上的最大值与参数有关，则当________,_______时，最小，且最小值为__________.三、解答题:本大题共4题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，为边上的高，已知，．（I）若，求；（II）求的最大值．18．（本题满分15分）已知数列满足，且.(I)求的通项公式；(II)设，求数列的前项和；(III

6、)设，证明：第四届迎新杯高二试题4/419．（本题满分20分）已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．(I)证明：直线与直线的斜率之积是定值；(II)若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上．20．（本题满分20分）一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是，与河岸垂直，垂足为现要修建电缆，从供电站向村庄供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.(I)如图①,已知村庄与原来铺设有电

7、缆，现先从处修建最短水下电缆到达对岸后后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；(II)如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为.若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值.第四届迎新杯高二试题4/4