王涛实变函数报告

《王涛实变函数报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、实变函数读书报告姓名：王涛班级：121132学号：20131000513摘要黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。我的读书报告主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义和一些定理的分析与比较，归纳总结出勒W格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条

2、件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒W格可积，这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。两者之间的关系就像数钱一样，R积分是你把钱分成按钱的张数分成堆，每堆数数有多少张1块，5块，100的然后求个和。然后把所有堆的钱数加起来。L积分是你把1块的放一对，5快的放一堆，100的放堆，然后数出每堆的张数，求出总钱数。关键词黎曼积分勒贝格积分区别1、可积函数的连续性闭区间【a,b】连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒W格可积函数，但黎曼可积函数不一

3、定是连续函数，比如W冇冇限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充耍条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质一连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。定理为使【a,b】上的有界函数f是R可积，充分必要条件是f在【a,b】上儿乎处处连续。此外当f为R可积时，f必L可积，而且两个积分值和等。例如黎曼函数/?/6/(0〉0,6/，厂为互质

4、的整数)X=[0,当x为无理数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.(因为该函数在区间(0,1)内的极限处处为0)。虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在Pl上的不连续点有无穷多个，但这个函数在Pl上仍是黎曼可积的，且有J(:f(xlx=0事实上，屮的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的♦现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。（积分的绝对连续性）设,则对任何£>0,存在5>0,使得对D上的任何可测子集A，只要m（A）

5、黎曼积分具有有限可加性，但没有可数可加性。但对于勒贝格积分，它不仅具冇冇限可加性，而且还具冇可列可加性。设fe£（D）,是D的一个分化，贝ijfdx=^fdxDEkLebesgue积分克服了黎曼积分的缺陷。对于这两种积分的可加性，宄其原因，我们将不难理解。我们知道，黎曼积分建立在区间之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而区间只具有有限可加性，勒W格测度具有可数可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度的性质也就反映到了相应的积分上来了。3.积分极限定理Riemann积分极限号与积分号要交换次序往往需要函数列一致

6、收敛，但Lebesgue积分的交换条件就弱了一些，我们有如下两个定理（Lovi单调收敛定理）（控制收敛定理）推广设和是可测集E上的叫列可测函数，且UPU｝，今若fkMf(x)gk(x)g(x),a.e,并^gk(x)dx^^g(x)dx

7、f

8、可积的不同，在黎曼可积中若f黎曼可积，则绝对可积，但反过来不一定成立，但勒贝格积分中可积与绝对可积等价5、总结从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分

9、将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。1、R积分的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；L积分的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。2、勒W格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的冇界可测

10、函数和单调函数必勒贝格可积，这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。3、勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。由勒贝格控制收敛定理可知，只要所给函数列可测、有界、收敛，积分与极限就可换序,这一点在三角级数、热学研究中