初中数学竞赛精品标准教程附练习55：未知数比方程个数多的方程组解法

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(55)未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数.例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题例1.在实数范围内，解下列方程或方程组：①；　　　②x2+xy+y2－3x－3y+3=0；

2、③解：①根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组解得x2=1而x≠1,∴②整理为关于x的二次方程，利用方程有实数根，则判别式△≥0.x2+(y－3)x+(y2－3y+3)=0.∵x是实数，　　∴△≥0.即(y－3)2－4(y2－3y+3)≥0.解得(y－1)2≤0.而(y－1)2≥0.　∴y=1.∴是原方程的解.③消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由①得z=2－x－y.代入②得2xy－(2－x－y)2－4=0.整理配方，得(x－2)2+(y－2)2=0.∵相加得0的两个数，只有是互为相反数.而x,y是实数，4∴(

3、x－2)2≥0，(y－2)2≥0.∴满足等式的条件只能是：.∴方程组的解是本题在消去z后，也可以仿②，写成关于x的二次方程，用判别式求解.例2.一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.分析：本题有多种解法：①交集法，②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}.三个集合的公共元素中最小的自然数是

4、37.解法二：设所求的自然数为4a+1或5b+2或11c+4(a,b,c都是自然数).得方程组由(1)得a=.设(k为正整数)，那么b=4k－1，a=5k－1.由(2)得c=.要使为整数，k取最小正整数2.这时c=3(也可求得b=7,a=9),所求自然数是37.解法三：设所求的自然数为x,则，，都是自然数.∵>>.∴+－也是自然数.设y=+－.去分母，得200y=31x－47.x=.y取最小正整数5，能使为整数.∴x=37,　即最小的自然数是37.4例3.有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，

5、丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、丙各1件共需几元？解：设甲，乙，丙每件分别为x,　y,　z元.根据题意，得(依题意只要求出x+y+z的值)(1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）.答：买甲、乙、丙各1件共需1.05元.例4.甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.解：设A、B两站的距离为x公里，并引入辅助未知数V甲，V乙分别表示甲、乙两车的速度.根据题意，得(这方程组可同时消去两个辅助未知数.)∵方程(2)左、右不等于

6、零∴(1)÷(2)得.解得，x=40；或x=12(不合题意舍去).答：A、B两站的距离为40公里.三、练习551.甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2.服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3.两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二

7、次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4.游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5.已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6.有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7.人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7.求下列方程的实数解：①4②5x2+6xy+2y2－14x－8y+10=0③(x2+1)(y2+4)=8xy④8.一件工程，

8、如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b倍.(其中b>a>1)