湖南大学考试试题

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1、工程数学(线性代数)练习二（第五章，第六章）一、单选题1.设A为n（n≥2）阶矩阵，且A2=E，则必有（）A.A的行列式等于1B.A的逆矩阵等于EC.A的秩等于nD.A的特征值均为12.设矩阵A=，则A的特征值为（）A.1，1，0B.-1，1，1C.1，1，1D.1，-1，-13.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（　　　）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A4.设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于（　　　）A.B.C.2

2、D.45.已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则A2=（）A.AB.DC.ED.-E6.若A与B相似，则()A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.

3、A

4、=

5、B

6、7.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（　　　）A.B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B8.与矩阵A=相似的是（　　　）A.B.C.D.9.设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝

7、（）。A.C.C.D.10.设A=，则二次型f(x1，x2)=xTAx是()A.正定B负定C.半正定D.不定11.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩为（　　　）A.1B.2C.3D.412.设有二次型则（　　　）A.正定B.负定C.不定D.半正定二、填空题1.矩阵A=的全部特征向量是______________________.2.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则

8、A

9、＝，A－1的特征值为_______,

10、A*

11、=__________.3.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.

12、则

13、A+E

14、=________.4.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.5.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则秩(A)=__________.6.已知λ=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为________.7.矩阵A=所对应的二次型是______________________.8.二次型f(x1,x2,x3)=的矩阵为________.9.二次型f()=的矩阵为10.已知二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)+(k-1)

15、+(k-2)正定，则数k的取值范围为________.三、计算题1.求矩阵的特征值和特征向量.2.设A＝与B＝相似，①求a，b；②求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B.3.试求三阶正交矩阵Q，使正交变换x=Qy能将二次型化成标准形.4.设二次型f=4x12+3x22+2x2x3+3x32①求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；②用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.5.问取何值时，二次型为正定二次型？四、证明题1.设方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对

16、应的特征值的绝对值等于1.2.设A为n阶方阵，α为A的对应于特征值λ的特征向量，β为AT的对应于特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交.3.设A是n阶正交矩阵，且

17、A

18、=－1，证明:－1是A的一个特征值.4.设、是两个阶矩阵，且有个两两不相等的特征值，试证：（1）的每个特征向量必是的特征向量，（2）一定可对角化.