有趣的数学---三门问题

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1、有趣的

2、zZ:学--三门问题扬州市邗江区霍桥学校孙宏三门问题是一个源自傅弈论的数学游戏问题，因为它的结论与人们的直觉相去甚远而使得这个问题自提出之后引发了不少的争议；同时也使得该问题具有经久不衰的魅力，吸引了不少概率学家和数学爱好者的注意力.这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门

3、会否增加参赛者臝得汽车的机率？为了更好地研究三门问题，我们有必要强调一下游戏规则中的几个要点：①参赛者在三扇门中挑选一扇，他并不知道门后有什么.②主持人知道每扇门后面有什么.③主持人永远都会挑选并打开一扇里面有山羊的门一一如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须打开另一扇有山羊的门；如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中打开一扇有山羊的门.④参赛者会被问是保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门.转换选择可以增加参赛者选中汽车的机率吗？问题的答案是肯定的，当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍.

4、该问题的答案十分违反直觉.下面笔者拟从“古典概率”的角度分析解答这个问题.根据古典概率的定义，如果一个试验满足以下两个条件则称之为古典试验：(1)试验只有有限个基木结果；(2)试验的每个基木结果出现的可能性是一样的.对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数0，m表示事件A包含的试验基本结果数.三门问题符合古典概率的定义,它只有三个基本结果，每个基本结果出现具有相等的可能性，不妨分析如下：①参赛者挑中山羊一号，主持人开出山羊二号.转换将赢得汽车.②参赛者挑中山羊二号，主持人开出山羊一号.转换将赢得汽车

5、.③参赛者挑中汽车，主持人开出两只山羊的任何一只.转换将失去汽车.在前两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车.第三种情况是唯一一种参赛者保持原来选择而赢的情况.因为三种情况中奋两种是通过转换选择而赢的，所以如果严格按照上述的条件的话,通过转换选择而臝得汽车的概率是，而保持原来选择而赢得汽车的概率是.因此当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择吋，赢得汽车的机会将会加倍.我们还可以这样解答：在决定是否转换选择之前参赛者选中山羊的可能性是，在这种情况下主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只山羊的可能性，留下的尚未

6、开启的门后必然是一辆汽车.所以转换选择而赢得汽.午.的概率是.为了说明上述结论的正确性我们可以先研宄下面这两个例子：例1:设甲、乙、丙三人以抽签的方式决定谁将获得唯一的一张电影票.将两个黑球和一个红球放入袋中，甲、乙、丙依次摸球，摸到红球获得电影票.1.如果让甲先摸，结果甲摸到红球，试问乙和丙是否吃亏？2.甲摸到红球的概率是，而已知甲摸到黑球时，乙摸到红球的概率是，甲是否吃亏？答案是毋庸置疑的，甲、乙、丙三人无论谁先摸，无论谁先摸到红球或黑球，摸到红球的概率都是，没有谁吃亏的问题.这个例子说明了在主持人亮出一扇有山羊的门后，若不改变选择，则抽中汽

7、车的可能性还是.同时也说明在参赛者选择一扇门后，另外两扇门里有车的概率和为，在主持人亮出一扇有山羊的门后最后那扇未开启的门后有车的概率为.例2:假设有十万扇门分别编号1-100000,其中只有一扇门后有车，并iL主持人知道车在哪扇门的后面.在你选中一扇门后，主持人逐渐打开剩下的99999扇门中的99998扇门，均是空的.主持人问你是否换最后-•扇尚未开启的门.问更换选择能否增加你赢得汽车的机率？解：因为选中1号门、2号门、3号门100000号门是等可能性事件，所以你猜中汽车可能性是.车在其余门内的可能性是.主持人打开剩下的99999扇门中的999

8、98扇空门，所以车在最后那扇门内的可能性就是.此吋更换选择赢得汽车的可能性是99.999%.三门问题有一个重要前提条件一一主持人知道每扇门后面是什么。以下两种新玩法中的主持人不知道车在何处，因为游戏规则己更改，所以结论也就不尽相同：(1)主持人在参赛人选定一扇门后随机开启剩下的一扇门，若发现门后恰好是一辆车则游戏结束.若发现门后恰好是一只羊则主持人苏后问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问换另一扇门会否增加参赛者臝得汽车的机率？此时答案是换与不换赢得汽车的机率一样，都是.(2)主持人在参赛人选定一扇门后在剩下的两扇门中随机选定一扇门但不打开(里面

9、是羊是车谁都不知道)，主持人其后问参赛者要不要换最后一扇未被选过的门.问换另一扇门会否增加参赛者臝得汽车的机率？此吋答案是换与不换参赛者