级数刻度尺判敛法

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1、级数的刻度尺判敛法记（）表示的次复合，当时，.称（）为一组刻度序列.=称为刻度尺，每个对应一个固定常数，{}称为刻度尺的刻度，而则称为刻度尺对数列的测量值序列，测量值可取或.对于正项级数，这里提供两把刻度尺用于判断其收敛性，只取刻度到，即取4个刻度：（A）（B）对应,除外，其余全为（更多刻度仍为）.从左至右，出现第一个小于对应刻度的值，则收敛，出现第一个大于对应刻度的值，则发散.例1判断级数收敛性.解：令，故原级数收敛.例2判断级数收敛性.解：令，则，，故原级数发散.这一题若前面不做无穷小等价，计算如下：积分常数直接被忽略了，可以更进一步得这说明在前一步作等价

2、变换能减少后一步积分的计算量。等价替换要小心等价量相减，上面就出现这种情况。结果不是0的话，这种担心是多余的，因为替换并没有略去彰显等价量差异的有效成分。当然，如果出现为0的情况，可以考虑对等价量作精度更高的展开，直到不被完全抵消。教学中因担心这种情况导致错误而只让乘除法时可作等价替换，这大大降低了等价替换的作用。设是最高次数是的广义多项式（不必为整数），则，利用这个结果，可加速计算。例1用第2种尺子会更简单：解：，，，原级数收敛。细心的人可能会问，所有取值都在刻度上，收敛性如何？大家也会留心到，这两把尺子看上去是一样的，只是计算方法不同。刻度尺上出现任何比更

3、高阶的无穷大项，意味着或。刻度尺上出现有界项，常数项，无穷小项，直接可以忽略掉，因为刻度尺只检测不超过不低于的无穷大量。更高的在就有结果，更低的直接就被忽略。这种刻度尺判敛法是全景式的。达朗贝尔判敛法，拉贝判敛法，高斯判敛法，柯西判敛法等，化成刻度尺的刻度。学一个刻度尺判敛法，即学了所有这些判敛法。上面只用到4个刻度，实际应用中3个刻度就足够了。不过，刻度尺的刻度数目可以无限扩展。刻度尺（A）的证明：（1）若，由（*）得，即，于是，刚好是与柯西根值判敛一致。（2）若，由（*）得，于是即考虑到，在时收敛，在时发散，若，则，由的任意性，可有，故收敛。若，则，由的任

4、意性，可有，故发散。（3）若，，由（*）得，于是即考虑到级数在时收敛，时发散，类似于（2）的讨论，可得结论。（4）证明略。刻度尺（B）的证明：（1）由得（**）若，由（**），，即，刚好与比值判敛法一致。（2）若，由（**）得，刚好与拉贝判敛法一致。（3）若，，由（**）得，于是，刚好与高斯判别法一致。（4）证明略。