直线与抛物线的位置关系(专题)

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1、抛物线的简单几何性质————叶双能一．教学目标：1.掌握抛物线的简单几何性质2.能够熟练运用性质解题3.掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4.进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.二．教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三．教学过程（一）复习回顾：（1）抛物线的焦点坐标是__________;准线方程__________.（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点，则抛物线的标准方程为_______________________.(3

2、)过点作斜率为的直线，交抛物线于A，B两点，求（二）典例分析：例1.已知抛物线直线过定点，斜率为.为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系.(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式1：已知抛物线方程，当为何值时，直线与抛物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，的最大值是多少？例2：过点作抛物线的弦，恰好被点所平分.(1)求所在的直线方程；（2）求的长.变

3、式1：斜率为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.(教材69页例4)方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式方法（二））方程联立根据韦达定理求运用弦长公式方法（三）（数形结合）方程联立根据韦达定理求运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式：（由焦半径公式推导而来）变式2：已知抛物线与直线相交于两点。（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值（）（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法）变式3：已知抛物线.(1).若直线与曲线只有一个交点，求实数的取值范围.(2).求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.(3).过点作抛物线

4、弦，恰好被点所平分，求的直线方程和弦的长.((1);(2)或或);(3),例3.过抛物线的焦点F的一条直线和抛物线相交于(1).求证：(2).求证：(3).求证：(4).求证(5).求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(7).求证：点A、O、B1三点共线.(8).若，M是A1,B1的中点，求证变式练习：若抛物线的方程为，则能得到什么结论？:例４．已知抛物线：．（１）在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短.（2）在抛物线上求一点P，使得点Ｐ到点的距离最近，并求最近的距离．（３）若点的坐标为，在抛物线上求一点P使得最小，并求最小值.（４）若点的坐标为，在抛物线C

5、上找一点Ｐ使得最小，并求最小值.（５）在抛物线上求一点P，使得点Ｐ到点距离与P到准线的距离之和最小，并求最小的值.（6）求下列函数的最值.(1)(2)（7）过抛物线C的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求的最小值.变式1：过抛物线的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求的最小值.变式2：过定点M(4,0)作直线L，交抛物线于A、B两点，F是抛物线的焦点，求的面积的最小值。变式3：已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线L与C相交于A、B两点。（1）若，求直线L的方程。（2）求的最小值。例5.已知抛物线的动弦恒过定点，求证：变式1：若直线L与抛物线交于A、B

6、两点，且OA⊥OB，:求证：直线L过定点变式2：如图所示，F是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，且的最小值为.（１）求抛物线的方程；（２）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点Ｍ的动直线与抛物线交于Ｂ，Ｃ两点，且，若存在，求出定点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由．一．练习反馈：1.抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标为______________________.2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，则=___________________________.3.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且成等差数列，则有（）A.B.C.D.4.一

7、个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积5.直线与抛物线相交于两点，求证：第２题图6.已知直线与抛物线交于两点，且并交AB于点Ｄ，点Ｄ的坐标为求的值．7.设直线与抛物线交于两点，已知弦，点P为抛物线上一点，求点P的坐标()8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.9（05北京）如图，O为坐标原点，过点.，且斜率为的直线交抛物线于两点.(1)写出直线的方程；（2）求与的值；（3）求证10.已知直线与抛物线相交于两点A、B，求：(1)线