本科毕业论文-沃利斯公式的证明及其应用

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1、盐城师范学院毕业论文沃利斯公式的证明及其应用学生姓名学院数学科学学院专业数学与应用数学班级10（2）班学号10211255指导教师韩诚2014年5月25日沃利斯公式的证明及其应用摘要Wallis公式在求Euler-Poisson积分和推导Stirling公式的过程中扮演了很重要的角色．近几年来，国内很多数学分析的教材都引入Wallis公式，但教材中关于其应用的论述很少．本文针对Wallis公式的证明并将Wallis公式进行两个简单推广，从数列极限计算、积分计算以及级数收敛性判断几个方面探讨Wallis公式的应用，为微积

2、分教学提供有意义的素材和思路．【关键词】Wallis公式；极限；积分ProofandItsApplicationsofWallisFormulaAbstractTheformulaofWallisplaysanimportantroleintheprocesstoobtaintheEuler-PoissonintegralandthederivationofStirlingformula.Inrecentyears,manydomesticanalysismathematicstextbooksintoWallisfo

3、rmula,butlittleabouttheapplicationsoftheteachingmaterial.ThispaperprovesthatthelittleWallisformulaandtheWallisformulaistwosimplepromotion,aswellastheseriesconvergencejudgmentapplicationaspectsofWallisformulafromthesequencelimitcalculation,integralcalculation,top

4、rovidesignificantmaterialandideasfortheteachingofcalculus.[Keywords]Wallisformula,limit,integral目录引言11沃利斯公式的证明及推广11.1沃利斯公式的新证明11.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程11.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式31.2沃利斯公式的推广41.2.1含参数的沃利斯公式41.2.2含沃利斯公式的不等式52沃利斯公式的应用62.1沃利斯公式在极限计算中的应用62.2沃利斯公式在积分计算中的应

5、用92.3沃利斯公式在级数收敛判别中的应用113总结13参考文献14盐城师范学院毕业论文引言近几年来，国内很多数学分析教材都引入Wallis公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分证明的，本文将借助类比思维，分别利用根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明Wallis公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用Wallis公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用Wallis公式的例子．且Wallis公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理

6、解Wallis公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．1沃利斯公式的证明及推广1.1沃利斯公式的新证明沃利斯公式指的是.经过开平方后，则Wallis公式可以写为.现引入这样的数学记号：，，则Wallis公式又可以写成.（1-1）1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人”，被17世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视

7、为“知道大自然一切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.对于有限次代数方程，假如有个不同的根，那么左边的多项式就可以表示为线性因子乘积，即第16页共14页盐城师范学院毕业论文　比较这个恒等式两边的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系.特别是偶数次方程有个不相同的根，则有，我们比较二次项系数有.根据幂级数展开式，在，则.利用无穷多项方程.（1-2）由于方程（1-2）的根为：，则即.（1-3）因为绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的.在（1-3）中令，得,沃利斯公式（1-1）得证.第16页共14页盐城师范学院毕业论

8、文1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式引理1设，则有.　　定理1设，，证明.证明令，根据引理1得.由于，，因此当时，即.当时，.则另一方面，由定积分的保不等式性质知，当时，有,从而得到，从上式可得到第16页共14页盐城师范学院毕业论文.在上式中，令，则.由于，因此根据迫敛性可知，因而.Wallis公式（1-1）得证.1.2沃利斯