高中数学圆的方程典型例题全

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1、类型七：圆中的最值问题例18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是例19　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程．可设圆的参数方程为（是参数）．则（其中）．所以，．(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以．．所以．．(2)(法1)由得圆的参数方程：是参数．则．令，得，．所以，．即的最大值为，最小值为．此时．所以

2、的最大值为，最小值为．(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．例20：已知，，点在圆上运动，则的最小值是.解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.练习：1：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.（2）设，则表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小

3、值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.2设点是圆是任一点，求的取值范围．分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替、，转化为三角问题来解决．解法一：设圆上任一点则有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围．解法二：由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离．∴解得：．另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：由消去后得：，此方程有实根，故，解之得：．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方

4、便．3、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.例23如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设，找的关系非常难．由于点随，点运动而运动，可考虑，，三点坐标之间的关系．解：设，，连结，，则，，是切线，所以，，，所以四边形是菱形．所以，得又满足，所以即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时

5、应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．例24已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形中，连结，交于，显然，，在直角三角形中，若设，则．由，即，也即，这便是的轨迹方程．解法二：设、、，则，．又，即．①又与的中点重合，故，，即　②①＋②，有．这就是所求的轨迹方程．解法三：设、、，由于为矩形，故与的中点重合，即有，　　　①，　　　②又由有　　③联立①、②、③消去、，即可得点的轨迹方程为．说明：本题的条件较多且较隐含

6、，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了、、、四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是.解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.练习巩固：设为两定点，动

7、点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.2、已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为.4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？解：设.∵，∴，∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是.例