初级中学数学竞赛辅导义及习题解答方程与函数

初级中学数学竞赛辅导义及习题解答方程与函数

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1、第十二讲方程与函数方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系,函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题.转化为函数关系去解决.方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程问题,在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时,借助函数图象能获得直观简捷的解答.【例题求解】【例1】若关于的方程有解,则实数m的取值

2、范围.思路点拨可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数,函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围.【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根,,且<1<,那么取值范围是()A.B.C.D.思路点拨因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值,注意判别式的隐含制约.【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(,0),B(,0)(≠).(1)求的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;(2)若抛物线与轴交于点C,且OA+OB=OC一2,求的值.思路点拨、是方程的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方

3、程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.7【例4】抛物线与轴的正半轴交于点C,与轴交于A、B两点,并且点B在A的右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.(1)求这条抛物线的解析式;(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.【例5】已知抛物线上有一点M(,)位于轴下方.(1)求证:此抛物线与轴交于两点;(2)设此抛物线与轴的交点为A(,0),B(,0),且<,求证:<<.思路点拨对于(1),

4、即要证;对于(2),即要证.注:(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨,需综合运用判别式、韦达定理等知识.(2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是:在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组.(3)一个关于二次函数图象的命题:已知二次函数()的图象与轴交于A(,0),B(,0)两点,顶点为C.①△ABC是直角三角形的充要条件是:△=.②△ABC是等边三角形的充要条件是:△=7学历训练1.已知关于的函数的图象与轴有交点,则m的取值范围是.2.已知抛物线与轴交于A(,0),B(,0)

5、两点,且,则.3.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2,时,y>O;③方程kx2+l(2k-1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<-l,x2>-l;⑤x2-x1=,其中所有正确的结论是(只需填写序号).4.设函数的图象如图所示,它与轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则=().A.8B.一4C.1lD.一4或115.已知:二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为P(-,),AB=|x1-x2

6、,若S△APB=

7、1,则b与c的关系式是()A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=06.已知方程有一个负根而且没有正根,那么的取值范围是()A.>-1B.=1C.≥1D.非上述答案7.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.(1)a、c的符号之间有何关系?(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数;(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=4,求a、c的值.78.已知:抛物线过点A(一1,4),其顶点

8、的横坐标为,与轴分别交于B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且<),且.(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;(2)设此抛物线与轴交于D点,点M是抛物线上的点,若△MBO的面积为△DOC面积的倍,求点M的坐标.9.已知抛物线交x轴于A(,0)、B(,0),交y轴于C点,且<0<,.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角,若存在,求出P点的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.10.设

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