数值分析课后第二章习题解答.pdf

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1、第二章习题解答一、习题解答-51用二分法求解下列方程，要求误差不超过10（1）x–lnx=2在区间[2，4]内的根；x（2）xe–1=0在区间[0，1]内的根；32（3）x+4x–10=0在区间[1，2]内的根。解：（1）x18=3.14618。二分法程序2-1a=2;b=4;k=0;f=inline('x-log(x)-2');ya=f(a);while(b-a)>0.00001x0=.5*(a+b);y0=f(x0);ifya*y0<0b=x0;elsea=x0;ya=y0;endk=k+1;endformatlongdisp([x0,k])（2）x17=0.56

2、7146。（利用上面程序修改前两行）（3）x17=1.365226。1−42证明方程1–x–sinx=0在区间[0，1]上有一根。使用二分法求误差不大于×10的2根需二分多少次？证明令f(x)=1–x–sinx，则f(0)=1，f(1)=–sin1。于是f(0)f(1)<0，故所给方程在区间[0，1]上必有根。又因为f′(x)=−1−cosx所以，函数f(x)在区间[0，1]内单减。故，方程在区间[0，1]内只有一个根。利用二分法收敛定理，由1−01−4≤×10n+122n4得2≥10，所以二分法求根至少需14次二分计算能满足误差要求。x3比较以下两种方法求e+10x

3、–2=0的根到三位小数所需要的计算量。（1）在区间[0，1]内用二分法；1x（2）用迭代法x=(2−en)，取初值x0=0。n+110解：（1）二分法迭代11次，x11=0.090。（利用第1题程序修改前两行）（2）不动点迭代5次，x5=0.0905。不动点迭代程序x0=0;k=0;er=1;fi=inline('(2-exp(x))/10');whileer>0.00016x1=fi(x0);er=abs(x1-x0);x0=x1;k=k+1;enddisp([x0,k])4给出求x=2+2+L+2的迭代格式，并证明limx=2。nnn→∞解取初值：x=2，迭代格式

4、：x=2+x(n=1，2，⋯⋯)。1n+1n首先证明数列有上界。显然，x1<2。设对k，有xk<2成立，则对于(k+1)有x=2+x<2+2=2k+1k由数学归纳法知，对任意n有xn<2。故数列有上界。现证明数列单增。由xn+12+xnxn+xn2=>=>1xxxxnnnn*知，数列单调增加。由极限定理，该数列必有极限，设为x，由limx=lim2+xn+1nn→∞n→∞得**x=2+x*化为二次方程，求出两个根分别为：–1和2，舍去负根，得x=2。-x5取x0=0.5，求方程x=e的根。分别用简单迭法和Aitken加速方法求解，要求误-5差

5、xk+1–xk

6、<10。

7、解：用简单迭代法，迭代公式为-xkx0=0.5，xk+1=e(k=0，1，⋯⋯)计算结果如下表0.606530650.545239210.579703090.560064620.571172140.564862940.568438040.566409450.567559630.566907210.567277190.567067350.567186360.567118860.567157140.567135430.567147740.56714076–5当k=17时，

8、x18–x17

9、=

10、0.56714076–0.56714774

11、≤10。故取*x≈0.5671407

12、6MATLAB程序如下x0=0.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=exp(-x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;end用Aitken加速方法，迭代公式为⎧yn=exp(−xn),zn=exp(−yn)⎪2(n=0，1，⋯⋯)⎨(zn−yn)x=z−⎪n+1nz−2y+x⎩nnn仍取x0=0.5，计算数据如下k123xk0.567623870.567143310.567143297–5当k=2时，

13、x3–x2

14、=

15、0.56714329–0.56714331

16、≤10。故取*x≈0.56714329MATLAB程序如下x=0.5;e

17、r=1;k=0;whileer>0.00001y=exp(-x);z=exp(-y);x0=z-(y-z)^2/(z-2*y+x);er=abs(x-x0);x=x0;k=k+1;u(k)=x;end336应用牛顿迭代法于方程x–a=0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛阶。3解：令f(x)=x–a，则牛顿迭代公式3xn−a2ax=x−=x+n+1n2n23x33xnn故迭代函数为2aϕ(x)=x+233x而22aaϕ′(x)=−，ϕ′′(x)=23433xx*3**3将x=a代入，得ϕ′(x)=0，ϕ′′(x)=2/a33故用牛顿迭代法求解方程