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1、解析几何专题·经典结论有关解析几何的经典结论一、椭圆1.点处的切线平分在点处的外角.（椭圆的光学性质）2.平分在点处的外角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.（第二定义）4.以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.（求导或用联立方程组法）6.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是7.椭圆()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.（余弦定理+面积公式+半角公式）8.椭圆（）的焦半径公式
2、：，(,，).（第二定义）9.设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点，则.证明：，，，第15页，共15页解析几何专题·经典结论，，易得：8.过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（其实就在准线上，下面证明他在准线上）证明：首先证明准线，和公共点，设，，不妨设，，，由，得交点，由，得，令，，，，，，，则，再根据上一条性质可得结论。第15页，共15页解析几何专题·经典结论8.是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即。（点差法）9.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是.（
3、点差法）10.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是.（点差法）二、双曲线1.点处的切线平分△在点处的内角.（同上）2.平分△在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4.以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：在右支；外切：在左支）（同上）5.若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是：.（同上）6.若在双曲线（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.（同上）7.双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点：，则双曲线的焦点角形的面积为.（
4、同上）8.双曲线（）的焦半径公式：,当在右支上时，,.当在左支上时，,（同上）9.设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则.（同上）第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（同上）2.是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。（同上）3.若在双曲线（）内，则被所平分的中点弦的方程是：.（同上）4.若在双曲线（）内，则过的弦中点的轨迹方程是：.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会
5、推导的经典结论）椭圆1.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是.证明：，，交点，由，得，又，则2.过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.证明：第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.若为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点,,，则.证法1（代数）证法二（几何）第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.设椭圆的两个焦点为、,（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△中，记,,，则有.（上条已证）2.若椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.3.为椭圆
6、上任一点，、是焦点，为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.4.椭圆与直线有公共点的充要条件是.5.已知椭圆，O为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.（1）;（2）
7、OP
8、2+
9、OQ
10、2的最大值为;（3）的最小值是.证明第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.证明2.已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点,则.3.设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,、是焦点，记，则(1).(2).第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，,,，分别是椭圆的半
11、焦距离心率，则有：(1).(2).(3).2.已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.证明3.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.4.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证第15页，共15页解析几何专题·经典结论1.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(离心率).（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、
