线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

《线性代数超强的总结(不看你会后悔的)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、线性代数超强总结√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.14√行列式的计算：①若都是方阵（不必同阶）,则②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：√逆矩阵的求法:①②③④14⑤√方阵的幂的性质：√设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.√设的列向量为,的列向量为，的列向量为,√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：14√

2、矩阵方程的解法：设法化成当时,√和同解（列向量个数相同）,则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.√判断是的基础解系的条件：①线性无关；②是的解；③.14①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其

3、余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.⑧维列向量组线性相关；维列向量组线性无关.⑨.⑩若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.14向量组等价和可以相互线性表示.记作：矩阵等价经过有限次初等变换化为.记作：①矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价.②向量组可由向量组线性表示≤.③向量组可由

4、向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.④向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；⑤任一向量组和它的极大无关组等价.⑥向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑦若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑧若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；若，的列向量线性无关,即：线性无关.14线性方程组的矩阵式向量式14矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：14线性方程组解的性质：√设为矩阵,若,则,从而一定有解.当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是的上限.√矩阵的秩的性质：①②≤③≤④⑤⑥≥⑦≤⑧⑨⑩且

5、在矩阵乘法中有左消去律:14标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量.√内积的性质：①正定性：②对称性：③双线性：施密特线性无关,单位化：正交矩阵.√是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.√正交矩阵的性质：①；②；③是正交阵,则（或）也是正交阵；④两个正交阵之积仍是正交阵；⑤正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵.14的特征多项式.的特征方程.√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,.√若的全部特征值，

6、是多项式,则:①的全部特征值为；②当可逆时,的全部特征值为,的全部特征值为.√√与相似（为可逆阵）记为：√相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为14的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.√可对角化的充要条件：为的重数.√若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似（为正交矩阵）√相似矩阵的性质：①若均可逆②③（为整数）④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.⑤从而同时可逆或不可逆⑥⑦√数量矩阵只与自己相似.√对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②与对角矩阵合同；③不同特

7、征值的特征向量必定正交；④重特征值必定有个线性无关的特征向量；⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.可以相似对角化与对角阵相似.记为：（称是的相似标准型）√若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√设为对应于的线性无关的特征向量,则有：14.√若,,则：.√若,则,.二次型为对称矩阵与合同.记作：（）√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√两个矩阵合同的充分条件是：√两个矩阵合同的必要条件是：√经过