一元二次方程的解法总结

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1、一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0].直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为

2、x=m±配方法　:1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)　　2.将二次项系数化为1　　3.将常数项移到等号右侧　　4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方　　5.将等号左边的代数式写成完全平方形式　　6.左右同时开平方　　7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程

3、在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。用因式分解法解一元二次方程的步骤1.将方程右边化为0；2.将方程左边分解为两个一次式的积；1.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；2.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形

4、式：y=ax²+bx+c(a≠0)。(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。增减性当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。常用公式总结： ；  一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相

5、等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴，解得；∵方程（2）没有实数根∴，解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能

6、和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。　　二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。　分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系

7、数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即，解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。解法二：设方程

8、的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求