超市场的最佳经营方案

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1、第三期（2004年12月）韶关学院学生数学建模论文集No.3超级市场的最佳经营方案颜学友，黄雅丽，黄绮玲（1．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005；2．韶关学院2002级信息技术(2)班，广东韶关512005）[摘要]:本文根据超级市场中商品的实际运作过程，针对韶关市某大型超级市场在进货策略方面存在的问题，建立了分类处理模型和基于商品价格的需求模型.分类处理模型对于超级市场所经营的生鲜商品和日用商品，分别建立了不考虑中断（缺货）损失和考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略模型．然后利用超级市场所提供的数据对以上建立的模型进行了检验，效果良好，具

2、有普遍的实用性；基于商品价格的需求模型从经济学角度对该问题进行分析，利用了经济学中的价格弹性理论，得出了需求量与销售价格之间满足半对数函数关系，其关系式为(各参量的意义见符号约定)，然后将韶关地区的各参量代入后，得到了“需求量－价格”函数关系式，为超级市场提供了一定的参考价值．关键词:超级市场;需求量;生鲜商品;日用商品;需求价格弹性1问题的提出韶关市某大型超级市场每天需要储存大量物品以满足顾客的需要，经营的品种分为贮存时间较短的生鲜商品(如：蔬菜、面包、熟食等)和贮存时间较长的日用商品(如：洗涤用品、香烟、毛巾等)．该超市常常碰到以下问题：商品进货策略把握不好，有些商品

3、脱销，有些商品积压．其后果是减少了超级市场的收益．另外，有些商品缺货会造成顾客的抱怨，以至影响该超级市场的声誉，导致超级市场出现缺货损失．　　在竞争激烈的市场经济条件下，该超市试图确定最佳进货方案，使得支付的总费用最小，以期获得最大利润．2模型的假设2.1顾客的需求量是随机的．2.2超级市场周期初所定的货物立即到达．2.3生鲜商品的保质期为销售的一个周期，一个周期只定一次货．2.4生鲜商品在一个周期内没有售出的(超过保质期)，不再贮存，立即折价售出．2.5日用商品在一个周期未售出的，进入下一个周期的销售，并且摆在货柜的最前面，即不考虑保质期的影响．2.6超级市场的商品在一

4、个周期内，其进货价和销售价保持不变．3符号约定商品一个周期的定货量顾客的需求量，是一个连续的随机变量　　　　需求量r的密度函数定货费(与数量无关)单位商品的进货价单位商品一周期的贮存费销售价生鲜商品一个周期内未售出的商品，折价售出时单位商品的售价缺货损失费83第三期（2004年12月）韶关学院学生数学建模论文集No.3日用商品一个周期末的存货量日用商品一个周期初的定货量商品的需求价格弹性　　　　　商品的定价　　　　　商品零售价格指数　　　　　消费者的收入水平4问题的分析超级市场进货后整个运转过程可用以下流程图表示：超级市场经营方案边销售，边贮存．付贮存费未售完的立即折价售

5、出一个周期（保质期）边销售，边贮存．付贮存费未售完的进入下一个周期的销售一个周期生鲜商品日用商品从以上流程图可知，我们需要分为生鲜商品和日用商品两大类分别建立数学模型．对于生鲜商品到周期末未售出的，要立即售出不在贮存，因为已经过了保质期；对于日用商品到周期末未售出的，进入下一个周期的销售，而且应放在货柜的最前面，这样，我们不用考虑其保质期．从经济学角度考虑，销售量是关于价格的递减函．对于该超级市场里的任意商品，我们可以根据超级市场提供的其销售的历史资料，进而找出较合理的“销售量－价格”函数关系式，进而可以预测出进货量．超级市场在进货时，可以根据“销售量－价格”函数关系式确

6、定进货量．5模型的建立和求解5.1分类处理模型5.1.1生鲜商品进货方案5.1.1.1不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略不考虑中断损失，那么平均费用为定货费、进货费以及贮存费的总和．由于需求量是随机变量，密度函数是,所以一个周期的累计贮存量为．此时，平均费用为说明：因为需求量是一个随机变量，所以的值也是不定的，超级市场若要确保不缺货，那么进货量一定要大于需求量．下面对上式进行分析，进而确定进货量，使得总费用最小：83第三期（2004年12月）韶关学院学生数学建模论文集No.3当时，．令,得(1)由于(1)式右边为负数，两边同时加上，且将代入，得到(2)由于，即函数存在最

7、小值．所以满足(2)式的可以使平均费用达到最小．当时，．令,得(3)同理，由于(3)式右边为负数，两边同时加上，且将代入，得到(4)由于，即函数存在最小值．所以满足(4)式的可以使平均费用达到最小．5.1.1.2考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略当定货量小于需求量，即时，缺货费为；当83第三期（2004年12月）韶关学院学生数学建模论文集No.3时，缺货费为零．这样平均费用可以表示为下面确定使总费用最小：考虑情形，根据平均费用的表达式，我们有令，化简得，(5)由于，即函数存在最小值．满足(5)式的可以使平均费用达到最小．当时，