二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

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1、菁优网www.jyeoo.com二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与

2、n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．解答：解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x

3、=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．©2010-2014菁优网菁优网www.jyeoo.com点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．　　2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个

4、单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有专题：探究型．分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式；（2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少

5、个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∵C点坐标为（0，4），∴a=﹣，（1分）∴解析式为y=﹣x2+x+4，顶点D坐标为（1，）；（2分）（2）直线CD解析式为y=kx+b．则，，∴，∴直线CD解析式为y=x+4，（3分）©2010-2014菁优网菁优网www.jyeoo.com∴E（﹣8，0），F（4，6），若抛物线向下移m个单位，其解析式y=﹣x2+x+4﹣m（m＞0），由消去y，得﹣x2+x﹣m=0，∵△=﹣2m≥0，∴0＜m≤，∴向下最多可平移个单位．（5分）若抛物线向上移m个单位，其解析式y=﹣x2+x

6、+4+m（m＞0），方法一：当x=﹣8时，y=﹣36+m，当x=4时，y=m，要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6，∴0＜m≤36；（7分）方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8，0）时，解得m=36，当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6，由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分）综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．　　3．（2013•

7、丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有分析：（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式．（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．解答：解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x﹣1

8、）2﹣4=x2﹣2x﹣3，（2）令x2﹣2x﹣3=0，©2010-2014菁优网菁优网www.jyeoo.com解之得：x1=﹣1，x2=3，故A，B