球面中子流形几何和拓扑的研究

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1、摘要整体微分几何中‘个重要的研究课题是口一pinching(q≥n／2)问题，它主要研究流形在口一pinching条件下的几何结构与拓扑结构。我们这罩主要讨论了球中子流形的三”一pi％c胁n9问题以及更一般的Lq—pinching(q2n／2)问题，和在这些条件下的拓扑球面定理。主要研究工具是子衙i形的sobolev不等式、Morse理论和积分估计。首先我们得到了球面中子流形几何结构的下述定理：定理A设M“n≥2)是s”p(1)中定向的紧致具有平行平均曲率了流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为s，H。如果JJs—nH2』。

2、)是仅依赖于n的证常数，则s=nH2，即M为全脐了流形，从而Mn等距于球M=Sn(1／、压丽1。定理B设M“(n≥2)是伊+，(1)中完备的具有平行平均曲率子流形。记M的第二基木形式模长平方和平均曲率分别为s，H。如果

3、

4、s—nH2II。<巴(n)，其中巴(n)是仅依赖于n的『F常数，则s=nH2，即M为全脐子流形，从而Mn等距于球M=SnO／～／『干丽)。更般的，我们还有：定理c设M“n≥3)是伊旧(1)中定向的紧致具有平行平均曲率了流形。记M的第二基本形式模【受平方和平均曲率分别为s，H。如果忪一nH2II。

5、，q，H，y)是与n，q，H，V有关的正常数，则s：nH2，即M为全脐子流形，从而M”等距于球肘=s”(1／川广F雨‘)。特别的，当g=n／2时，文章[15]中的结论就是上述定理3的推论。对丁球面中子流形的拓扑结构，我们得到了以下结果：定理D设^扩是闭的连通的n维黎曼流形，妒：M一伊伸(1)是等距浸入。则存在一个只和n，P有关的正常数D(n，p)，使得n一1忪一n舻妒≥D(n，p)y警∑岛．{=1其中聩是第{个Betti数，q>n／2，D(n，p)=pnn／2∞一1)‘2一“)／2“h+p—l“口1，y是M的体积，‰为形中单位球的体积。特别的，如果忪一nH

6、z∥2

7、moregenerallyL4(q≥n／2)一pinchingproblemofsubmanifoldinasphere，andalsothespheretheoremundertheseconditions．OurmaintoohareSobolevinequalitiesofsubmanlfold，Morsethe-o．ry,integrationestimate．Firstly,weobtainthefollowingtheorems：TheoremALetM“m≥2)beann-dimensionalclosedsubmanifoldwithpar

8、allelmeancurvatureinS卅9(1)．DenotebyHandSthemeancurvatureandthesquaredlengthofthesectionalfundamentalformofM，respectively．Iflts—nH2IIn

9、TheoremBLetM吖n>21beann-dimensionalcompletesubmanifoldwithparallelmeoalcurvatureinS“+p(1)．Denoteby日andSthemeancur-vatureandthesquaredlengthofthesectionalfundamentalformofM，re-spectively．IflIS一礼日。II。

10、(n)isanexplicitpositiveconstantdependingon"，thenS=n日2，i．e．Misatotallyu

11、mbilicalsubmanifoldand，andhenceM“