《第13章-三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

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安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4．了解三角形的稳定性。知识要点：一、三角形中的边角关系　　1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。注意：三角形的中线平分三角形的面积。2.三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。   注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。3．三角形各角之间的关系：   ①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。   ②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）；   ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；   ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：②三角形按角的关系可以如下分类：5．三角形具有稳定性。知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2．命题都可以写成：“如果……，那么……。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：（1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。（3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。（7）等腰三角形的判定与性质。（8）直角三角形的判定与性质。9．反证法　　①假设，②推理，③矛盾，④结论。《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》练习题一、填空题：1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是___________，这个三角形是___________三角形。2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为___________。3．三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是___________。4．三角形的三边为，，，则的取值范围是___________。5．已知a，b，c为ΔABC的三条边，化简－|b－a－c|＝___________。6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长。7．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28cm，则DB＝___________。8.已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为___________。9.等腰三角形的周长为20cm，（1）若其中一边长为6cm，则腰长为___________；（2）若其中一边长为5cm，则腰长为___________。10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，则△ABC的周长的取值范围是___________。11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为___________。12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为___________。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_______________________________。14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为___________。15．三角形的最小角不大于___________度，最大角不小于___________度。16．三角形的三个内角中至少有___________个锐角，三个外角中最多有___________个锐角。17．在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝___________度。18．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝___________。19．如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A＝___________。20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，则∠BDC的度数是___________。21．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝___________。22．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为___________。（第20题图）（第21题图）（第22题图）23．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外（如图），若∠2＝20°，则∠1的度数为___________。24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°＋∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A∴∠1＋∠2＝(180 °－∠A)＝90°－∠A∴∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－（90°－∠A）＝90°＋∠A。探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料结论：。25．如图，已知∠A＝80°，（1）若点O为两角平分线的交点，则∠BOC＝___________；（2）若点O为两条高的交点，∠BOC＝___________。26.如图，△ABC的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE＝2EC，O为DC与BE交点，若△DBO的面积为，△CEO的面积为，则___________。27．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP。若∠BPC＝50°，则∠PAC＝___________度。（第25题图）（第26题图）（第27题图）202728．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝___________度。二、选择题：1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的（）A．7cmB．4cmC．3cmD．10cm2．若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（）A.7B.6C.5D.43．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A.－6＜a＜－3B.－5＜a＜－2C.2＜a＜5D.a＜－5或a＞－25.一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（   ）   A.3              B.4              C.5              D.66．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（　　）A.4B.3　C.2　D.17．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（）17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料A．7B．11C．7或11D．不能确定8．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数（）A．60°B．75°C．90°D．120°10．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形11．三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定12．在ΔABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么ΔABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.斜三角形13.三角形中，最大角的取值范围是（   ）A.       B. C.      D.14．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．72°15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（）A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案都不对16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1＋∠2的大小为（）A．130°B.230°C.180°D.310°17．已知如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°则∠DFE等于（）A.120°B.115°C.110°D.105°ADB1CE2（第16题图）（第17题图）18．在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜180°B．0°＜∠A＜800C．50°＜∠A＜130°D．80°＜∠A＜130°19．若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（C）A．可能没有锐角B．可能有一个锐角C．可能有两个锐角D．最多一个锐角20．如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形21．在ABC中⑴如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A；⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝∠A；17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A。上述说法正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个22.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且，则S阴影等于（）A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm223．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（）   A.∠1＝2∠2                   B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°        D.3∠1－∠2＝180°24.如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（   ）   A.∠1＝2∠2                   B.C.        D.（第22题图）（第23题图）（第24题图）25．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A/的位置，则∠A′、∠1与∠2的数量关系，结论正确是（　　）A．∠1＝∠2＋∠A′B．∠1＝2∠2＋2∠A′C．2∠1＝∠2＋∠A′D．∠1＝2∠A′＋∠226．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于D，若∠B＝50°，则∠ADC＝（　　）A．60°B．80°C．65°D．40°27．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝35°，则∠CAP＝（　　）A.45°B.50°C.55°D.65°17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料（第25题图）（第26题图）（第27题图）三、解答下列各题：1．△ABC的三边长分别为4、9、x，⑴求x的取值范围；⑵求△ABC周长的取值范围；⑶当x为偶数时，求x；⑷当△ABC的周长为偶数时，求x；⑸当△ABC周长是5的倍数时，求x；⑹若△ABC为等腰三角形，求x。2．已知△ABC的三条边为整数，且，求的值。3．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：（1）a∥b；（2）b⊥c；（3）a⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c。以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。4．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料5．有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？6．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？7．在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料8．（1）已知如图（a），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则∠EAD与∠B，∠C有何数量关系？   （2）如图（b），AE平分∠BAC，F为其上一点，且FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？   （3）如图（c），AE平分∠BAC，F为AE延长线上一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？   9．如图，P为△ABC内任意一点，求证：⑴∠BPC＞∠A；⑵∠BPC＝∠ABP＋∠A＋∠ACP；⑶AB＋AC＞PB＋PC。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料10.如图中的几个图形是五角星和它的变形  （1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E。 （2）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E如图（2），说明你的结论的正确性。  （3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性。11．如图已知△ABC中，∠B和∠C外角平分线相交于点P。（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝70°，求∠BPC度数。（2）若∠ABC＝α，∠BPC＝β，求∠ACB度数。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料12．△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点。（1）如果纸片沿直线脚折叠，使点A′正好落在线段AC上，如图1，此时∠A与∠BDA′的关系是；（2）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的内部，如图2，试猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的外部，如图3，则此时∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是∠BDA′-∠CEA′=2∠A，请说明理由。13．如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F。（1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？（2）当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料14．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有几个？15．有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知ΔABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c的值满足等式|b＋c－2a|＋（b＋c－5）2＝0，求b的取值在什么范围？”。你能解答这道题吗？16．在ΔABC中，∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝4∠C，求∠B的范围。17．在△ABC中，∠A是最大角，∠C是最小角，且∠A＝2∠C，求∠C的取值范围。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料《第13章三角形中的边角关系》练习题答案一、填空题：1．8，等腰。2．2。3．。4．5．2b－2c。6．AD＝13cm。7．8cm；8.9。9.（1）6cm或7cm；（2）cm。10．周长＞12。11．1。12．10厘米或厘米。13．有两个角相等的三角形是等腰三角形；14．20°或120°；15．60，60；16．2，1；17．120°；18．60°；19．30°或120°；20．95°；21．50°；22．解：如图，∵∠CEF＋∠CFE＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C，∴∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝85°＋55°＝140°，又将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠C′EF＋∠C′F＝∠CEF＋∠CFE＝140°，∴∠CEC′＋∠CEC′＝140°＋140°＝280°，∵∠1＝20°，∴∠2＝180°×2－∠CEC′＋∠CEC′－∠1＝360°－280°－20°＝60°故答案为：60。23．解：如图，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′＝∠C＝40°，而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝20°，∴∠3＋20°＋∠4＋40°＋40°＝180°，∴∠3＋∠4＝80°，∴∠1＝180°－80°＝100°。故答案为100。24．∠BOC＝∠A，∠BOC＝90°－∠A；25.（1）130°；（2）100°或80°；26.2；27．解：延长BA，做PN⊥AD，PF⊥BA，PM⊥BC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠BCP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料∴PF＝PM，∵∠APC＝50°，∴∠BAP＝∠PAC＝（x－50）°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝2x°－（x°－50°）－（x°－50°）＝100°，∴∠CBF＝100°，在Rt△PFB和Rt△PMB中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFB≌Rt△PMB，∴∠FAP＝∠PAC＝40°。28．50°。二、选择题：1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.C11.D12.B13.C14.B15.C16.B17.B18.B19.C20.B21.C22.A23.B24.D25.D26．C27．C。考点：三角形内角和定理。分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案。解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝35°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－35）°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－35°）－（x°－35°）＝70°，∴∠CAF＝110°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝55°。故选C。三、解答下列各题：1．⑴5＜x＜13；⑵18＜△ABC的周长＜26；⑶当x为偶数时，x＝6、8、10、12；⑷当△ABC的周长为偶数时，x＝7、9、11；⑸当△ABC周长是5的倍数时，x＝7、12；⑹若△ABC为等腰三角形，x＝9。2．，，，则整数。3．答案不惟一，如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么等。4．要画图，写已知、求证、证明。5．6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料6．3°。7．∠BOC＝50°或130°；8．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠C∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC，∵∠BAC＝180°－∠B－∠C∴∠EAC＝（180°－∠B－∠C）＝90°－∠B－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝90°－∠B－∠C－（90°－∠C）＝(∠C－∠B)。   （2）如图（b），过A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝(∠C－∠B)。∵AG⊥BC，∵FD⊥BC，∴∠AGC＝∠FDG＝90°，∴FD∥AG，∴∠EFD＝∠EAG，∴∠EFD＝(∠C－∠B)。   （3）如图（c），过点A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝(∠C－∠B)。∵AG⊥BC，∵FD⊥BC，∴∠AGB＝∠FDC＝90°，∴FD∥AB，∴∠AFD＝∠EAG，∴∠AFD＝(∠C－∠B)。   说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。9．延长BP交AC于D。⑴∠BPC＞∠PDC＞∠A；⑵∠BPC＝∠PDC＋∠ACP；∠PDC＝∠A＋∠ABP；∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP。⑶∵AB＋AD＞BD。PD＋DC＞PC。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料∴AB＋AD＋PD＋DC＞BD＋PC。∴AB＋AC＞PB＋PC。10.（1）180°。 （2）无变化。理由:∠CAD＋∠B＋∠C＋∠E＝∠CAD＋∠EAD＋∠BAC＝180°。（3）无变化。理由:∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°。11．解：（1）∠BPC＝180°－（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝180°－（180°－30°＋180°－70°）＝50°；（2）∠BPC＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB），∵∠BPC＝β，∠ABC＝α，∴β＝（α＋∠ACB）。故∠ACB＝2β－α。12．解：（1）∠BDA′＝2∠A；根据折叠的性质可知∠DA′E＝∠A，∠DA′E＋∠A＝∠BDA′，故∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A＋∠DA′E＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，∴∠A＋∠DA′E＝360°－∠ADA′－∠A′EA，∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，理由：如图3，DA′交AC于点F，∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。故答案为：（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。13．解：（1）由图可得：∠D＋∠1＝∠3＋∠F①∠2＋∠F＝∠B＋∠4②又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，17http://blog.sina.com.cn/hudazhu 安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料∴①－②得：∠B＋∠D＝2∠F； （2）设∠B＝2k，则∠D＝4k∴∠F＝3k，∴∠B∶∠D∶∠F＝2k∶4k∶3k＝2∶4∶x，∴x＝3。14．111、222、333、122、133、144、223、233、234。15．解：对于已知|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，由于绝对值与平方数都大于或等于0，所以要使已知等式成立，只能是|b＋c－2a|＝0，(b＋c－5)²＝0，由此可得：a＝，c＝5－b，利用三角形‘两边之差小于第三边’的性质，可得：①b－c＜a，b－(5－b)＜∴b＜，②c－b＜a，(5－b)－b＜，∴b＞，综合得，b的取值范围是：＜b＜。16．∠A＋∠B＋∠C＝180°∠A＝4∠C，5∠C＋∠B＝180°＜6∠B，∠B＞30°。同理∠A＋∠B＝180°＞9/4∠B，∠B＜80°。所以30°＜∠B＜80°。17．36°≤∠C≤45°。17http://blog.sina.com.cn/hudazhu