相似三角形添加辅助线的方法举例有答案

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1、相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结（1）如果，，，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：AC的值． 11例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，

2、求BF的长．例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：． 11相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．分析：欲证BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C

3、=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．证法三（构造）：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．证法四（构造）：如图，取BC中点

4、E，连结DE，则CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．11∴J即．∴BC2＝2CD·AC．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结（1）如果，，，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点，，，为的中点又，又为等边三角形故解法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的延长线于作，分别交、于点、则，得

5、矩形，11又，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得，，11解法2（补形法）如图，延长、交于点，，，又设，则，，，解法3（补形法）如图连结，作交延长线于点连结则∽，故（1），故（2）由（1）、（2）两式

6、得即解法4（割补法）如图11连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，，又，，故说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：AC的值． 解法1：延长FE交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵，∴，即．∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：

7、CH，∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．解法2：如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，，即AB∥MC，∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵，∴AF：FD=1：2，∴AE：MD=1：2．11∵．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.解析：取CF的中点G，连接BG．∵B为AC的中点，∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，∴F为DG的中点．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=

8、1：4，∴AF：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于