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1、2012年现代控制理论考试试卷-、(10分，每小题1分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的,(7)1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。(7)2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。(X)3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。(V)4.对线性定常系统i=，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。(V)5.—个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。(X)6.对一个系统，只能选取一组状态变景；(7
2、)7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；(X)8.若传递函数GC0=C(W-A广B存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；(X)9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；(X)10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、己知下图电路，以电源电压u（t）为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变景的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）解：（1）巾电路原理得:didtniL人dtL2Lcz2du(
3、.1.~dT~~clLlR,il2"0"□參□Ucur2=Ao5Ao丄c0R’-丄c"1"A+00uc■■厶10uW尺2=[0/?20]二.（10分）图为R-L-C电路，设W为控制量，电感L上的支路电流和电容C上的电压^为状态变量，电容C上的电压^为输出量，试求:网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。R1R2+—I1■卽I1解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L上的电流和电容两端的电压力状态变量，即令：^=从=~，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：R2Cx2+x2-Lxx=0
4、參•/?,(%,+Cx2)+Lx,-w=0从上述两式可解出"1，*，即可得到状态空间表达式如下:R'1AV+參人R'1及1(穴1+穴2)Cj（尺1+尺2）CU「01■「0穴1尺2R'Ay2—R'+尺2R]+/?2+_尺1+尺2U三、（每小题10分井40分）基础题（1）试求=+w的一个对角规范型的最小实现。（10分）y⑴一？+l_（S+l）（f-A，+l）_?—y+Ln1丨—1U（s）~53-35-2-（5+l）（52-5-2）-52-5-2-S~25+1不妨令W=TTT2分碰=丄U(s)~s-2于是有xx=2%j+uyy（5）
5、^x,（s）x2（5）U（s）U（s）U（s）所以r(0=[/⑷+芩00+%2⑺，即有y=u^x}+x22分最终的对角规范型实现为x,=2x,+wy=x,+%2+u则系统的一个最小实现为:"20X=1-1，y=[ll]x+w(2)己知系统i0-2y=[i-2]x,写出其对偶系统，判断0-1该系统的能控性及其对偶系统的能观性。(10分)解答:rankUc=rank[bAb]=rank5-62-3=2,系统状态完全能控'0-2"_1"i=X+13__-2_U＞，=[12]x则对偶系统能观（3）设系统为-100-2x⑴+w⑴，x(0
6、)=试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。e.00x(z)=C>(z)x(O)+£(r)Bu(r)dTe~l0"Y+0e_2'_1Joe[t-T]0ee~l+£edi，+(i--，）1■麵1-，）」去f)e-2(卜r)0-2(卜r)di♦♦番•1r1x+00__1_—0111Li（4）己知系统x";1121w试将其化为能控标准型。（10分）A=[°1]^；1=[01]•12121'1-1110011—-1101"O'011能控标准型为iu=[i一H••1分=[ii]••1分••3分•.3分..2分..1分四、
7、设系统为i2-101-10000A+10u，j=[014Ol00-30x35LJx3i4000-4x4_0_X4试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分）能控性分解：y=[4010]x25x2+1A0X40-30000-11000-10000-4w,（4分）能观测性分解:參•x2•x3•A/x4-3000-1001-1000000-4（4分）A传递函数为汾）=%=I（2分）5+35+3五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统1=方法一:=又201-1-1%的稳定性。(10分)=—Xj—X7原点1=0是系统的唯一
8、平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即v(x)=x/+x22>0v(x)=2x,xi+2x2X2=2x,x2+2x2(-x,+x2)=-2x2当义1=0,义2=0时，vW=0;当又2=0时，vOO=0,因此V(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳
