定积分典型例题20例答案解析

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1、定积分典型例题20例答案例1求．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2本题也可直接用换元法求解．令=（），则====例3（1）若，则=___；（2）若，求=___．

2、分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可．解（1）=；（2）由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得=．例4设连续，且，则=_________．解对等式两边关于求导得，故，令得，所以．例5函数的单调递减开区间为_________．解，令得，解之得，即为所求．例6求的极值点．解由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故为的极大值点，为极小值点．例7已知两曲线与在点处的切线相同，其中，，试求该切线的方程并求极限．分析两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．解由已知条件得，

3、且由两曲线在处切线斜率相同知．故所求切线方程为．而．例8求；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解=====．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9试求正数与，使等式成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解==，由此可知必有，得．又由，得．即，为所求．例10设，，则当时，是的（）．A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．解法1由于．故是同阶但非等价的无穷小．选B．解法2将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则．例11计算．分析被积函数含有绝对

4、值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解＝＝＝．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.例12设是连续函数，且，则．分析本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以．例13计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故．例14计算，其中连续．分析要求积分

5、上限函数的导数，但被积函数中含有，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导．解由于=．故令，当时；当时，而，所以==，故===．错误解答．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式中要求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不能直接求导，而应先换元．例15计算．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解．例16计算．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解===．例17计算．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多

6、次利用分部积分法．解由于，　　　　　　　　　（1）而，（2）将（2）式代入（1）式可得,故．例18　计算．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解．　　　　　　　　　　　　　　（1）令，则．（2）将（2）式代入（1）式中得．例19设上具有二阶连续导数，且，求．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于．故．例20计算．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解=====．