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1、2015清华大学自主招生一、选择题1.设复数z=cos+isin,则=( )(A)0(B)1(C)(D)2.设数列为等差数列,p,q,k,l为正整数,则“p+q>k+l”是“”的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要3.设A、B是抛物线y=上两点,O是坐标原点,若OA⊥OB,则()(A)
2、OA
3、·
4、OB
5、≥2(B)
6、OA
7、+
8、OB
9、≥2(C)直线AB过抛物线y=的焦点(D)O到直线AB的距离小于等于14.设函数的定义域为(-1,1),且满足:①>0,x∈(-1,0);②+=,x、y∈(-1,1),则为(A)奇
10、函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)−kx有( )(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6.△ABC的三边分别为、b、c.若c=2,∠C=,且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有( )(A)b=2(B)△ABC的周长为2+2(C)△ABC的面积为(D)△ABC的外接圆半径为7.设函数,则( )(A)有极小值,但无最小值(B)有极大值,但无最大值(C)若方程=b恰有一个实根,则b>(D)若方程=b恰有三个
11、不同实根,则0
12、参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测:3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁12.长方体ABCD−中,AB=2,AD=A=1,则A到平面BD的距离为( )(A)(B)(C)(D)13.设不等式组所表示的区域为D,其面积为S,则( )(A)若S=4,则k的值唯一(B)若S=,则k的值有2个(C)若D为三角形,则013、(D)若D为五边形,则k>414.△ABC的三边长是2,3,4,其外心为O,则=( )(A)0(B)−15(C)−(D)−15.设随机事件A与B互相独立,且P(B)=0.5,P(A−B)=0.2,则( )(A)P(A)=0.4(B)P(B−A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.916.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分,则这两部分的面积之比的( )(A)最小值为(B)最小值为(C)最大值为(D最大值为17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有( )(A)105种(B)225
14、种(C)315种(D)420种第10页共10页2015清华大学自主招生18.已知存在实数r,使得圆周上恰好有n个整点,则n可以等于( )(A)4(B)6(C)8(D)1219.设复数z满足2
15、z
16、≤
17、z−1
18、,则( )(A)
19、z
20、的最大值为1(B)
21、z
22、的最小值为(C)z的虚部的最大值为(D)z的实部的最大值为20.设m,n是大于零的实数,=(mcosα,msinα),=(ncosβ,nsinβ),其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π).定义向量=(,),=(,),记θ=α−β,则( )(A)·=(B)=(C)(D)21.设
23、数列{}满足:=6,,则( )(A)∀n∈N∗,<(B)∀n∈N∗,≠2015(C)∃n∈N∗,为完全平方数(D)∃n∈N∗,为完全立方数22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有( )(A)ρ=(B)ρ=(C)ρ=(D)ρ=23.设函数,则( )(A)≤(B)
24、
25、≤5
26、x
27、(C)曲线y=存在对称轴(D)曲线y=存在对称中心24.△ABC的三边分别为,b,c,若△ABC为锐角三角形,则( )(A)sinA>cosB(B)tanA>cotB(C)(D)25.设函数的定义域是(−1,1),若==1,则存在实数δ∈(0,1)
28、,使得( )(A)>0,x∈(−δ,δ)(B)在(−δ,δ)上单调递增(C)>1,x∈(0,δ)(D)>1,x∈(−δ,0