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1、word资料下载可编辑矩阵及其运算矩阵的概念1、形如、、、这样的矩形数表叫做矩阵。2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为列向量；由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵，阶矩阵可记做，如矩阵为阶矩阵，可记做；矩阵为阶矩阵，可记做。有时矩阵也可用、等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个阶矩阵中的第（）行第（）列数可用字母表示，如矩阵第3行第2个数为。4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如为一个阶零矩阵。5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵
2、，一个方阵有行（列），可称此方阵为阶方阵，如矩阵、均为三阶方阵。在一个阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵为3阶单位矩阵。6、如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等，那么与叫做同阶矩阵；如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。专业技术资料word资料下载可编辑7、对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵叫做方程组的增广矩阵。应用举例：例1、已知矩阵且
3、，求、的值及矩阵。例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）；（2）例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）（2）例4、已知矩阵为单位矩阵，且，求的值。专业技术资料word资料下载可编辑矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。例2、运用矩阵变换方法解方程组：（、为常数）课堂练习：用矩阵
4、变换方法解下列问题：（1）若方程组的解与相等，求的值。专业技术资料word资料下载可编辑（3）解方程组：矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）1．相等定义如果两个矩阵，满足：(1)行、列数相同，即；(2)对应元素相等，即aij=bij(=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵A=，B
5、=那么A=B，当且仅当a11=3，a12=0，a13=-5，a21=-2，a22=1，a23=4而C=因为B,C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11,c12,c21,c22取什么数都不会与矩阵B相等.2．加法定义2.3设，是两个mn矩阵，则称矩阵专业技术资料word资料下载可编辑C=为A与B的和，记作C=A+B=（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D=A-B=A+(-B)=称D为A与B的差.例1设矩阵A=，B=，求A+B，A-B.例2、矩阵，，，若，，，求的值。矩
6、阵加法满足的运算规则是什么？设A,B,C,O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1.加法交换律：A+B=B+A；2.加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；3.零矩阵满足：A+O=A；4.存在矩阵-A，满足：A-A=A+(-A)=O.3．数乘定义2.4设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中专业技术资料word资料下载可编辑，记为C=A（由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当=-1时，A=-A，得到A的负矩阵.）例3设矩阵A=，用2去乘矩阵A，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什
7、么？对数k,l和矩阵A=，B=满足以下运算规则：1.数对矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB；2.矩阵对数的分配律：(k+l)A=kA+lA；3.数与矩阵的结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)；4.数1与矩阵满足：1A=A.例4设矩阵A=，B=，求3A-2B.4．乘法矩阵乘积的定义设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C=为矩阵A与B的乘积，记作C=AB.其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=(=1,2,…,m；j=1,2,…,n).（由矩阵乘积的定义可知：）(1)只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的
8、行数时，A,B才能作乘法运算AB；(2)两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；(3)乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等
