传染病流行至今仍是威胁着人类完整版

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1、传染病数学模型传染病的流行至今仍是威胁着人类。然而，人类在研究传染病的蔓延过程时，却遇到不少困难，这些困难主要是：第一，对传染病的试验费用极其昂贵（用动物做实验）而且从道德角度不允许用人做实验；第二，关于出染病的有关数据只能取自于疾病爆发后的有关报告，而报告中的数据往往不全面，并且要准确估计有关参数是困难的，通常人们仅仅能获得参数的变化范围。因此，数学模型和计算机模拟成为人们研究传染病蔓延过程的重要手段。模型1假设病人通过空气，食物等病菌传染给健康人。单位时间内一个病人能传染的人数是常数.设t时刻的病人数目i(t)是t的连续可微函数，则由假设知或(4,31

2、)设开始观察时有个病人，即则方程满足的初始条件的解（4,32）由此看来，病人数目随着时间的推移将无限增加，这与实践情况不符。因为在不考虑疾病流行期间的出生，死亡和迁移时，一个地区的总人数大致可认为是常数，而是变化的，在传染病流行的初期，较大，随着病人的增多，健康人减少，被传染的机会也将减少，逐渐变小，所以对原假设要进行修改。模型2将人群分为两类：病人i(t)和健康人s(t).假设：(1)该地区总人数为n，且i(t)+s(t)=n（4,33）(2)单位时间内，一个病人传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（称为传染系数），则或用初等积分法易得方程的解

3、为显然，i(t)单调增且当t时i(e)n，即最终所有的人都要被传染，这与实际情况不符。但在传染病流行的前期这个模型还是可用的，传染病学者曾用它来预报传染病高潮到来的时刻，即病人人数增加最快的时刻，记(4,35)使u(t)=达到最大值得时刻，即是传染病高潮到来的时刻，由，求得（4,35）其中，传染系数k可由统计资料求得，或根据经验估计。模型3将人群分为三类：病人i(t)、健康人s(t)以及病愈免疫者r(t)。假设：(1)设总人数为n，且i(t)+s(t)+r(t)=n;(2)同模型2的假设(2);(3)在单位时间内，病愈免疫的人数r(t)与当时病人人数成正比

4、，设比例系数为l,称l为恢复系数，即(4,36)由假设(2)(4,37)这是模型为(4,38设初始条件为方程组的解析解难以求得，仅在相同平面上讨论解解性态。有方程组知其中，称为特征系数，对于同一地区、同一种传染病、是常数。其初始条件为方程的解为在相同平面上过点的这条相轨线如图4,4所示，因为i(t)，故图中实现部分有意义。又因，故图中箭头方向表示t增加时，s(t)和i(t)的变化趋势。由方程知，当s=时，，i达到极大值。从图上可见，当时，i(t)当时，i(t)。这说明，仅当传染病开始时健康人数超过的情况下，传染病才会蔓延。是一个阈值。通常很小，可近似认为，

5、在总人数n不变的情况下，提高的数值，对制止传染病的蔓延有利，这就要使恢复系数l增大，传染系数k降低，即要提高该地区的医疗水平的卫生保健水平。可以利用统计数据检验模型3,。实际上，可以根据医院每周病愈和死亡人数的统计资料，确定模型中的(t以周为单位)，同时又可以根据上述模型，找出的近似表达式，将两者进行比较。由方程和得它在初始条件下的解为又i(t)+s(t)+r(t)=n,故当时，利用指数函数的Taylor展式可得在零初始条件下的解为其中得到Kermaqk和Mckendrick利用本世纪初在印度孟买发生的一起瘟疫中的死亡人数检验这个模型，取定参数等的数值后，

6、有此式表示的曲线如图4,5所示，图中的圆点时那次瘟疫中每周的实际死亡人数。可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当好