《模态比例因子》word版

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1、1线性系统的运动方程及其矩阵表达式1.1刚度矩阵、质量矩阵与阻尼矩阵刚度系数kij定义为只在坐标xj上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在坐标xi上需要加的力：kij=fixi=0r=1,2,⋯,n,r≠jxj=11.1.1对于图所示系统，刚度矩阵为：k=k1+k2-k2-k2k2+k30-k3⋮⋱⋮0-knkn+kn+11.1.2对于这类弹簧-质量-阻尼系统，一般存在下述规律：（1）刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素kii或cii为联接在质量mi上的所有弹簧刚度（或阻尼系数）的和；（2）刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素kij或

2、cij为直接联接在质量mi与mj之间的弹簧刚度（或阻尼系数），取负值；（3）一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；（4）如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下质量矩阵并不一定是对角的。1.2特征值问题多自由度系统的运动微分方程为：mxt+c∙xt+k∙xt=ft1.2.1式中，xt=x1t,x2t,⋯,xntTft=f1t,f2t,⋯,fntTm,c,k分别是质量、阻尼和刚度矩阵。1.1.1无阻尼和比例阻尼系统考虑无阻尼和比例阻尼系统的自由振动，其运动微分方程为：mxt+k∙xt=01.2.2或展开为：j=1

3、nmijxjt+j=1nkijxjt+=0i=1,2,⋯,n1.2.3为了研究它的解，先试探一种最简单的、特殊形式的解：各质量合拍地进行运动，即各坐标之比xjt/xit等于常数，称这种运动为同步运动。可将同步解写为：xjt=φjStj=1,2,⋯,n1.2.4式中，φjj=1,2,⋯,n是一组参数；St是依赖时间的实函数，对所有坐标都相同。由此式可推出：xjtxit=φjφi=consti,j=1,2,⋯,n1.2.5将1.2.4代入1.2.3，得：Stj=1nmijφj+Stj=1nkijφj=0i=1,2,⋯,n将上式分离变量，得：

4、StSt=-j=1nkijφjj=1nmijφji=1,2,⋯,n1.2.6方程1.2.6的左端仅与时间t有关，右端仅与位移（坐标）有关，为使该等式能成立，其两端都必须等于一个常数；由于St是实函数，故该常数必为实数，不妨假定为λ，于是有St+λSt=01.2.7aj=1nkij-λmijφj=0i=1,2,⋯,n1.2.7b对于方程1.2.7a，已知它的解为St=Ccosωt-θ1.2.8式中ω2=λ，而ω是实数，为简谐运动的频率，C和θ是任意参数。频率ω（或）λ不能是任意的，它的确定应该考虑到使方程1.2.7b有非零解。将方程1.2

5、.7b写出矩阵形式k-ω2mφj=01.2.9这是一个关于φj的n元线性齐次方程组，该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零，即Δω2=kij-ω2mij=01.2.10式1.2.9称为系统的特征方程，式1.2.10成为系统频率方程，该行列式称为特征行列式，将它展开后得到关于ω2的n次代数方程ω2n+a1ω2(n-1)+a2ω2(n-2)+⋯+an-1ω2+an=01.2.11假定系统的质量矩阵与刚度矩阵都是正定的是对称矩阵。在数学上可以证明，在这一条件下，频率方程1.2.11的n个根均为正实根，它们对于系统的n个自然频率。这里

6、假设各根互补相等，即没有重根，因而可由小到大按次序排列为ω12<ω22<⋯<ωn2其中最低的频率ω1称为基频，在工程应用中它是最重要的一个自然频率。将各特征根λr=ωr2分别代入方程1.2.9便可得各相应的解φr，称为系统的模态向量或振型向量。自然频率ωr和模态向量φr构成了系统的第r阶自然模态，它表征了系统的一种基本运动模式，即一种同步运动。n自由度系统一般有n种同步运动，每一种均为简谐运动，但频率ωr不同，而且其振幅在各自由度上的分配方式，即模态向量φr也不同。每一种同步运动可写为xtr=φrcosωrt-θrr=1,2,⋯,n1.

7、2.12由于1.22或1.23是齐次方程，因此以上个解的线性组合仍为原方程的解，由此得系统自由振动的通解为xt=r=1nCrxtr=r=1nCrφrcosωrt-θrr=1,2,⋯,n1.2.13式中ωr、φrr=1,2,⋯,n由系统参数决定，Cr、θrr=1,2,⋯,n为待定常数，由初始条件决定。1.1.1一般粘性阻尼1.1正交性、标准化与比例换算因子2传统振动测试方法获得比例换算因子2.1解析法模态分析解析法的出发点是根据质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵来估计结构的质量、刚度和阻尼分布。这些矩阵决定了特征值问题，p0MMC+-M00KY

8、=0其特征值就是满足下列方程的p的值pA+B=0特征值λr就是系统极点，λr=σr+jωr，既包含阻尼因子，又包含阻尼固有频率。将特征值λr（系统极点）代入上式得到特征向量ΦrΦr=λrφrφrΦ=λ1φ1