凸函数的性质及其应用研究

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1、凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重耍的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质；由于A函数的定义是

2、由不等式给出的，基于此，A函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨丫它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式英文摘要PropertiesandApplicationsofConvexFunctionAbstractConvexfunctionisakindofimportantfunction.Theconceptoft

3、heearliestcanbefoundinJensen’s119051writing.Convexfunctionhasappliedinpuremathematicsandmanyappliedmathematicsextensivefields.Nowitbecomethefoundationandpowerfultooltostudymathematicalprogramming,theoryofstrategy，mathematicaleconomics，calculusofvariations

4、andsuchdisciplinesastheoptimalcontroltheory.Manyimportantpropertiesofconvexfunctionhavebeenwidelyusedinmanyfieldsofmathematicsapplication,butitslimitationsarealsoobviously.Sothestudyofsomedefinitionsandpropertiesofconvexfunctionisnecessary.Consideringthea

5、pplicationandsignificancetoproveinequalityandthecontinuityandconductivityofconvexfunction,thispaperpresents13kinddefinitionsandsummarizesthepropertiesofconvexfunctionwhicharecommonlyused.Convexfunctionarewidelyusedinsomespecialinequalityproof,becauseofcon

6、vexfunctionisdefinedbytheinequality.ThispaperdiscussestheimportantapplicationsofconvexfunctioninprovingJenseninequality，generalinequality，Cauchyinequality，HolderInequality.TheimportantapplicationsofCauchyinequality，HolderinequalityandJenseninequalitytopro

7、veotherinequalitiesarealsodiscussed.KeyWords:Convexfunction，definition,properties,applications，inequality目录I英文摘要II151g12凸函数的定义12.1凸函数的12种定义13凸函数的性质43.1凸函数的常用性质44凸函数的应用114.1凸函数在微分学屮的应用114.2凸函数在积分学中的应用134.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式154.4利用凸函数证明Cauchy不等式174.5利用凸函数

8、证明Holder不等式184.6利用凸函数证明一般不等式19参考文献24翻寸251引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen［19051著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。尤其是凸函数的许多重要性质在数学的许多领域如：数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域中都有着广泛的应用，凸函数的性质在证明不等式、产品的外形设计，优化产品设计等方面都起着非常重要的作用，但是凸函数也有一定的局限性，所以研