如何写论文范文

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1、如何写论文范文如何写论文范文_论文范文导读：正整数，故有定义2.1若m1，(a,m)1，则使得同余式a1(modm)成立的最小正整数r叫做ra对于模m的指数，记r为ordma.例2.1找2对于模7的指数.解因为22(mod7)，24(mod7)，21(mod7)，所以ord723.123同样找3对模7的指数.因为313(mod7)，322(mod7)，336(mod7)，34安庆师范学院数学与计算科学学院2009届毕业论文原根及其应用：×××摘要指导老师：×××本文介绍了指数与原根的定义以及它们的一些有关性质，并给出了

2、关于模m的原根存在的几个充分必要条件.从原根与同余方程解的关系角度揭示了当模m存在原根时所具有的一些本质特性.最后讨论了基于离散对数问题的公钥体制即ElGamal体制，体现了原根在学方面的应用.关键词指数原根剩余类ElGamal体制1引言在这篇文章中，我们从欧拉定理引出指数的定义，进而得出原根定义，以及指数与原根的一些有关性质，接着我们经验证前30个正整数的原根存在的情况推断出一般整数原根存在的条件，并给出证明.还从原根与同余方程解的关系这个角度出发，揭示了当模m的原根存在时所具有的一些本质特性.最后讨论基于离散对数问

3、题的公钥体制即ElGamal体制，体现了原根在学方面的应用.2整数指数与原根的定义及其性质2.1整数指数的定义.欧拉定理设m是大于1的整数，(a,m)1，则a(m)1(modm).这里的(m)是个欧拉数，即它在正整数m上的值等于序列0，1，2，…，a1中与a互质的数的个数.这就是说，若(a,m)1，m1，则至少存在一个正整数r，满足a1(modm).因此r也存在满足上述要求的最小正整数，故有定义2.1若m1，(a,m)1，则使得同余式a1(modm)成立的最小正整数r叫做ra对于模m的指数，记r为ordma.例2.1找

4、2对于模7的指数.解因为22(mod7)，24(mod7)，21(mod7)，所以ord723.同样找3对模7的指数.因为313(mod7)，322(mod7)，336(mod7)，344(mod7)，355(mod7)，361(mod7)，所以ord736.要求出满足同余式a1(modm)的所有解x，我们可用以下定理：x定理2.1若(a,m)1，m0，则x是a1(modm)的解的充要条件是：ordma

5、x.x第1页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2009届毕业论文证明（充分性）若ordma

6、x，则xkordma

7、，其中k为一个正整数，因此axakordma(aordma)k由(a,m)1，知aordma1(modm)，所以a5678910如何写论文范文_论文范文(2)导读：odm)成xry立的最小正整数.又因为0rordma，所以r0.即xqordma，亦即ordma

8、x.例2.2判断x10及x15是否为21(mod7)的解.x解x由例2.1知ord723，因为3不被10整除，3

9、15，因此由定理2.1知，x10不x是21(mod7)的解，而x15是21(mod7)的解.推论2.1若(a,x(aordma)k1(modm).（

10、必要性）若a1(modm)，则令xqordmar，0rordma，则xaxaqordmar(aordma)qarar(modm)所以a1(modm)，因此a1(modm).由指数定义知，yordma是使a1(modm)成xry立的最小正整数.又因为0rordma，所以r0.即xqordma，亦即ordma

11、x.例2.2判断x10及x15是否为21(mod7)的解.x解x由例2.1知ord723，因为3不被10整除，3

12、15，因此由定理2.1知，x10不x是21(mod7)的解，而x15是21(mod7)的解.推论2.1

13、若(a,m)1，m0，则ordma

14、(m).证明因为(a,m)1，由欧拉定理知，a(m)1(modm)，再由定理2.1知，ordma

15、(m).例2.3求出7对模9的指数.解因为小于9且与9互质的正整数有1，2，4，5，7，8，即(9)6，又因为6的因子为1，2，3，6，所以由推论2.1知，ord97只可能是其中一数.又因为717(mod9)，724(mod9)，731(mod9)，所以ord973.odm)当且仅当ij(modordma)，其中定理2.2若(a,m)1，m0，则aa(miji，j都是非负整数.证明dma

16、，k是正整数.不妨设0ji，则ijkor;;若ij(modordma)，aiajkordma(aordma)kaj因为aordma1(modm)，所以第2页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2009届毕业论文ai(aordma)kajaj(modm).;;若aiaj(modm)，其中ij，则由(a,m)1知，(aj,m)1，因