固体颗粒的群体沉降速度分析

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1、固体颗粒的群体沉降速度分析郑邦民1，夏军强2(1.武汉大学河流系，湖北武汉430072;2.清华大学水利系，北京100084)摘要：从流体力学原理出发，数值模拟非均匀沙随机分布对流场的影响，推导出固体颗粒群体沉速的理论解。该公式不仅量纲和谐，浓度变化不超过极限浓度值，能反映含沙量与非均匀沙级配变化对群体沉速的影响，而且可避免其它公式量纲不和谐，计算中出现负值或降得过快的缺点。采用黄河实测资料对该公式进行了验证，计算结果与实测资料基本符合。关键词：固体颗粒;群体沉速;干扰流核；极限浓度1引言泥沙在静止的清

2、水中等速下沉时的速度，称为泥沙的沉降速度。在多沙河流的浑水中，泥沙颗粒的沉降特性比清水中与低含沙水流中复杂。此时泥沙颗粒下沉相互干扰，部分颗粒或全部颗粒成群下沉，其下沉速度称为群体沉速［1,2］。群体颗粒沉降特性的研究具有十分重要的意义，它在多沙河流的河床演变分析和泥沙数学模型计算中广泛应用。单个颗粒的沉速与群体沉降可以相差10倍，故50年前有人说泥沙运动严格地讲只有一个半理论。为此应进一步分析颗粒群体沉降规律，使其在实际应用中不致有太大的误差。   本文在研究流体力学粘性流中圆球绕流规律的基础上，得出

3、固体颗粒群体沉速的理论解，它可反映泥沙浓度与组成对群体沉速的影响。然后将该公式与现有的群体沉速公式进行比较，并用黄河实测资料进行验证。2理论前提Navier_Stokes方程是流体力学的基本控制方程，它是求解流体力学诸多问题中普遍应用的方程。对不可压缩粘性流体，在有势外力作用下，可得Helmholtz涡量方程(1)上式中为流速矢量：Δ为哈密顿算子(HamiltonOperator)；ν为流体的运动粘滞系数;t为时间。一般情况下，三维流函数为向量，它与流速　有如下关系。而流速与涡量，亦呈旋度关系，即。为

4、了便于数值计算，它可写作一般曲线坐标系的张量形式：。其中。式中ui为逆变分量，Δj为协变导数，为协变基向量，它不一定是正交基，也不一定为单位基。对正交曲线坐标，则有　其中uk为单位正交(局部)基上的物理分量；Hk为Lami系数或标量因子，它反映微元弧长ddi与坐标微元dξi之间的比，即dsi=H(i)dξi。根据上述关系，我们可以将涡量方程写作一般曲线坐标形式或正交曲线坐标形式，以便于数值计算。它可以用来计算形体绕流等外部流动。对于二维流或在柱坐标、球坐标下的球对称，轴对称流动，式(2)可以简化。例如，

5、在球坐标下有H1=1、H2=R、H3=Rsinθ，可得ds1=dR、ds2=dθ、ds3=Rsinθdλ。上式中R、θ、λ为球坐标系下的三个坐标线。因轴对称时，且物理量只在R、θ方向上有变化，故有ψ3=ψ。同时可得R、θ坐标线上的速度分量(3)这对小雷诺数下的圆球绕流，上述沉降分析是合适的。恒定流情况有惯性项均可忽略。对于外部绕流，流函数是无源场，则有，因此可得。此时流函数与涡量的关系方程。如果是轴对称流动，则涡量只有3=Ω为标量，流函数亦只有ψ3=ψ也为标量，而有Ω+Δ2ψ=0        

6、     (4)   即在小雷诺数时，对轴对称的圆球绕流，解Navier-Stokes方程，可变为解流函数ψ满足的重调和方程▽2▽2ψ＝0。3单个球形颗粒在粘性流中匀速沉降解单个球形细颗粒在粘性流中匀速沉降的速度ω0，可从流体力学分析得到。单个球形颗粒在粘性流中绕流时，其Stokes流函数为ψ=1/4Vsin2θ（α3/R－3αR+2R2）。如将球坐标原点放在球心，利用(3)式，可得圆球绕流时R、θ坐标线上的流速分量分别为(5-1)(5-2)通过对作用于球面上的压力积分，可求得圆球所受阻力为3πμd

7、V，其中V为球与流体的相对速度，当球体均匀沉降时，有效重力(γs-γ)πd3/6与阻力相平衡。其中球体半径为α，直径为d。一个球体直径为d所占的距离为d+l，N个均匀颗粒占的距离当N(d+l)。一个球体体积为πd3/6，N个πd3/6，所占空间为N3(d+l)3，体积比浓度(6)当ld时，则Sv→0；当l→0，均匀沙排列均匀，得Sv=0.5236。此为极限浓度Svm的下界，随机紧密填充可达Sv=0.5612，如果为非均匀沙随机排列，该值还可以再取高一些。如Svm≈0.65，但只要达到这种情况，流体将很难

8、在颗粒间流动，因此，此下极限浓度值也是可用的，随着l/d的改变，浓度值变化如表1所示。表1浓度Sv随l/d变化Table1ConcentrationSvchangewiththevariablel/d l/d1005010752.710.50.30.2Sv0.5×10-50.4×10-54×10-40.0010.0240.010.06550.1550.23830.303　　不论如何，只要我们随机地给出粒径大小d与它所在位置，我们可以求得其