大一线性代数论文

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1、为适应教学课程开设的专业覆盖面，逐渐引入了以求适应的知识点。n阶行列式、矩阵、n维向量与向量空间，应用数学模型等慢慢走进了专业覆盖面。在实际问题中，我们经常会碰到超过3个元素的数组，例如确定飞机的状态，需要以下几个参数：机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角、飞机重心在空间的位置参数等。因此，需要引入n维向量的概念。n个数组成的有序数组（）或称为一个n维向量，简称向量。其中只有一行的称为行向量，只有一列的称为列向量。数称为这个向量的分量，称为这个向量的第个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量，分量都是负数的向量称为负向量。实际上，n维行向量可以看成

2、行矩阵，n维列向量可以看成列矩阵。如果两实向量相等，即称两个向量相等。对于两个分量的各分量的和所组成的向量，称为两个向量的和。一个数与向量的各分量相乘所组成的向量，称为向量与k的数量乘积，简称数乘，记为k。分量全为零的向量（）称为零向量，记为。与-1的数乘（-1）称为的负向量，记为-。向量的加法与数乘具有下列性质：（1）+=+；（交换律）（2）（+）+=+（+）；（结合律）（3）+=；（4）+（-）=;（5）k（+）=k+k;(6)(k+i)=k+i;(7)k(i)=(ki);(8)i=;3(9)0=;(10)k=在数学中，满足（1）～（8）的运算称为

3、线性运算。我们还可以证明：（11）如果k≠0且≠0，那么k≠.由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个mxn矩阵A=有n个m维列向量=，=，···，=，我们称向量组为矩阵A的列向量组。对于行向量组也同样。矩阵与向量组之间建立了一一对应的关系。二．向量组的线性相关性对于向量组，如果存在不全为零的数，使得++···+=。则称向量组线性相关。反之，如果只有在==···==时上式才成立，就称向量组线性无关。列向量也同样如此。对此，单个零向量构成的向量组是线性相关的。定义：给定向量和向量组，如果存在一组数，使得=++···+，则

4、称向量为向量组的一个线性组合，或者说可有向量组线性表示，称为组合系数。例6设=（1,1,1,），=（1,1，-1，-1），=（1，-1,1，-1），3=（1，-1，-1,1），=（1,2,1,1），试问能否有，线性表示？若能，写出具体表达式。解：令=+++，于是得线性方程组+++=1+--=2-+-=1--+=11111因为D=11-1-1=-16≠0,1-11-11-1-11则由克拉默法则求出=，=，==-，所以=+--因此，能由，线性表示。定理1向量组（n大于等于2）线性相关性的充分必要条件是：其中至少有一个向量能由其余向量线性表示。定理2设向量组

5、线性无关，而向量组，线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。3推论含有零向量的向量组必线性相关。定理4以后（包括定理4）的在此处省略，部分推论也省了。三．向量组间的关系与极大线性无关组两个向量组A和B，如果向量组A中的每个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。显然，向量组之间的等价关系具有下述性质：（1）反身性（2）对称性（3）传递性四．向量组的秩及其与矩阵的秩的关系由上一节知道，一个向量组的极大线性无关组可能不是

6、唯一的，但任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。由于线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组，所以有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价，根据定理8的推论2就有：等价的向量组必有相同的秩。五．向量空间设V为n维向量组的集合。如果V非空，切对于向量加法及数乘运算封闭，及对任意的，都属于V和常数k都有+∈V，k∈V,就称集合V为一个向量空间。3