第三章静态场边值问题的解析解1

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1、第三章静态场边值问题的解法静电场和恒定电场的边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。求解边界值问题的方法，可以分为解析法和数值法两大类。解析法中的分离变量法是解拉普拉斯方程的最基本方法，本章将介绍在直角坐标、圆柱坐标和球华.标中拉普拉斯方程的解；以及某些特定情况下，用镜像法求拉普拉斯方程的特解。3.1唯一性定理静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程式或拉普拉斯方程式的解，这种求解称为偏微分方程法。3.3.1边值问题的分类根据问题所给的边界条件不同，边值问题分为以下三类：1）第一类边值问题是指所给定的边界条件为

2、整个边界上的电位值，乂称为狄里赫利问题；2）第二类边值问题是指所给定的边界条件力整个边界上的电位法向导数值，又称为纽曼问题；3）第三类边伉问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数伉，又称为混合边值问题。如果边界是导体，则上述三类问题变为：已知各导体表面的电位；己知各导体的总电量；己知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。3.3.2唯一性定理在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。在讨论这些方法之前，耑要解决这样一个问题：满足泊松

3、方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。此定理的表述十分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解识是唯一的。也就是说，若要保证识力M题的唯一正确解，p必须满足两个条件。第一，要满足方程V2p=—或V2识=0,这是必要条件；第二，在整个边界上满足所给定的边界条件。所谓边界条件包含了边值问题给出的三种情况。证明解的唯一性定理证明用的是反证法，即假定在表而为S的空间V内有两组不同的解识和V，它们都满足同一个边界条件及方程，即有^2（P=-P/£:-p/e取两解之差y在V

4、rtf—定满足拉普拉斯方程▽V=N（p_（p、二V2识-v2^/=o利用格林第一恒等式，J（^vv+v^v^）6/v^ds令式中的识=y=w，得J[^vy+(v^)2w斗ISon因为vV=o,所以(3.1)cp^-fdSon1）在边界S上，对于第一类边值问题，由于两个解识和V都满足同样的边界条件，所以有f

5、s=0

6、s—f

7、s=0,代入（3.1）式得到J（V^）v/V=O因为被积函数（v（f）2—定为正值，因此要使积分为零，必须有v2y=o,即（Pn’=常数我们在引入电位函数吋就曾指出，电位炉的绝对值无意义，因为炉和炉+C代表的是同一电场，所以识和

8、V实际上是一个解，亦即解是唯一的。2）在边界而Si,对于第二类边值问题有d（p3（pdndn¥dn=0。所以根据式（3.1）仍然有J（V^）2JV=0V同理，有y=c（常数），识和#代表的是同一电场，所以解也是唯一的。3）对于第三类边值问题，在一部分边界；面上有f=识-¥=0,而在另一部分边界S—&面上有—¥=0,所以由式(3.1)仍然可得出ononanJ(V^)2JV=0V同理，有y=c（常数），所以解也是唯一的。唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。解的唯一性定理在求解静电场问题中具有重要的理论意义和实

9、际价值。定理的成立意味着我们可以采川多种形式的求解方法，包括某些特殊、简便的方法，甚至是直接观察的方法。只要能找到一个既满足泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足给定的任何一类边界条件的解，那么此解必定是该问题的唯一正确的解，无须再做进一步的验证，如果由于方法的不同而得到了不同形式的解，那么也只是形式上的不同而已。例3.1.1有一半径为6Z的导体球，它的中心恰好位于两种均匀无限大介质的分界面上，如图3.1.1,介质的介电常数分别是和^。若导体球总电荷为（2,求导体球表面处的自巾电荷分布。解设导体球上下两半球各自带电量为％和％，则2=^1+

10、等电位体，上下半球电位相等，即另外，总电荷2—定，无限远处电位为0,故满足唯一性定理条件根据唯一性定理，得到drr=adrr~a因识終，故=—^―=——€}e227icC£}27rere2化简得a，i=i(Qi)^^2^^2=——Qq2=e~Q6*2+A£2+£,电荷而密度为er=仏—£'Qer=%_1Ijicc27ra2(e}+)，22/ra22^z2(r,+£*2)例3.1.2—不带电的孤立导体球(半径为u)位于均匀电场中，£=£01,如图3.1.2所示，求电位函数。解在没有引入导体球时，均匀电场互的电位函数为(p^)——J£*0^2•C

11、zdz+C=—EqZ+C若取z=0为电位参考点，则C=0,V(z)=—£Qz。在球坐标屮，z=rcos3,于是，(pr,