等腰直角三角形的全等问题

等腰直角三角形的全等问题

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时间:2018-10-31

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1、等腰直角三角形中的全等问题在证明三角形全等时,我们常常遇到图形中有等腰直角三角形,由于等腰直角三角形有一组直角边相等,恰恰可以为我们证明三角形全等提供必要的条件,现举几例说明。2、已知:在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,过点A作直线FG,过点B做BD⊥FG于D,过点C做CE⊥FG于E,求证:DE=BD-CE分析:题中有几个直角,往往可以得到许多角互余,所以有一些角相等,题中有AB=AC,我们可以得到AB与AC所在的三角形(△ABD与△CAE)全等,则BD=AE,AD=CE,结论及可证明。证明(略)结论

2、:一组直角边相等,思路1:可以观察两边是否在一个三角形中,若在,即这个三角形是等腰三角形思路2:若不在一个三角形中,往往可得到其所在的两个三角形有一组对应边相等,为证三角形全等奠定条件。练习:3、在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,过点C做BD的垂线CE,垂足为E,求证:CE=1/2BDACBDEDADBADCBADE提示:可通过角平分线构建全等形,即延长CE交BA的延长线于F,则△BEF与△BEC全等,所以CF=2CE,只需证明CF=BD即可,即证明△ABD与△ACF全等。4、在等腰

3、直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为AC的中点,AF⊥BD于G,过点C做CE∥AB,交AF的延长线于点E,求证:EF=DF提示:要证明结论成立,需证明EF与DF所在的两个三角形△CFD与△CFE全等即可。关键差一组边或一组角相等,有题中条件,很容易可证明△ABD与△CAE全等,可为证明△CFD与△CFE全等提供帮助。6CCABEDFGGGGGGGFGBFGABFGDABFGDABFECDABF5、如图,△ACD和△AEB都是等腰直角三角形,∠EAB=∠CAD=90°,求证:(1)EC=BD(2)EC⊥B

4、D(3)(4)S△ADE=S△ABCACBDFE6、已知:在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E为AC上一点,CD⊥BE于D,连接AD,若AD=2,CD=3,求BD的长。ACDB提示:由于等腰直角三角形的特征,把CA绕点A逆时针旋转90°,即可与BA重合,所以,可把DA同样处理,使之旋转到点E处,则△CAD与△BAE全等,即可得到结论。在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,D是AC中点,∠ADF=∠CDB,连接CF交BD于E,求证:BD⊥CF.67.(2011秋•硚口区期中)如图,在等腰直角△ABC中

5、,∠ABC=90°,D为AC的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.求证:(1)DE=DF(2)∠DEF=45°.8(2014秋•武汉校级月考)如图,BD是等腰直角△ABC的腰AC上的中线,AE⊥BD交BD、BC于E、F,求证:(1)∠ABD=∠CAF;(2)∠ADB=∠CDF.9.(2011秋•嘉陵区期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,等腰直角三角板ADE如图放置,点D恰是AC的中点,AC=2AB.(1)求证:△EAB≌△EDC.(2)判断△EBC的形状.(有些角用数字表示更醒目)10.(20

6、08秋•自贡期末)在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G.求证:(1)BD=CG;(2)DF=GE.611.如图,锐角△ABC分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.求证:EM+FN=AB.12.如图1,已知A(0,2)、B(-1,0)两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC.(1)求点C的坐标;(2)如图2,直线CB交

7、y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE.13如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若AB=6,求△DEB的周长.如图,△CAB,△CDE都是等腰直角三角形,M是DB中点,求证:CM⊥AE.6如图,△ACE为等腰直角三角形,∠ACE=90°,B为AE上一点,△ABC经过旋转到达△EDC的位置,AC=cm,(1)∠DEC=_______°;(2)求四边形CBED的面积;(3)连结BD,若AB=1cm,求线

8、段BD的长.已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点,连接AD、BE,F为线段AD的中点,连接CF(1)如图1,当点D在BC边上时,BE与CF的数量关系是_________,位置关系是__________(不用证明);(2)如图2,把△DEC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),其他条件不变,问(1)中

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