平面向量复习基本知识点及经典结论总结

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1、平面向量学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；　　④基本考点：、向量的运算及其几何意义；　　、向量的线性运算；　、共线问题；、基本定理应用及其向量分解；　、坐标表示及其运算；、平行问题的坐标表示；、数量积的运算；　　　　　　　、夹角问题；　　　　、模长及垂直条件；、在平面几何中应用；　　　　　、在解析几何中的应用；、在解三角形中的应用；、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移；②零向

2、量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；单位化18④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关；⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－；⑥平行向量（共线向量）：１、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；２、记作：∥零向量和任何非零向量平行；３、两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

3、４、平行向量无传递性！（因为有)；５、三点共线共线；⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；、向量的运算及其几何意义：例１、下列命题：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则是平行四边形；④若是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则；其中正确的是_______例２、下列命题正确是：①若，则；②若非零向量与方向相同或相反，则与之一的方向相同；③若，则；④若，则或；⑤若，则；⑥若，则；⑦与方向相同；⑧向量与向量共线的充要条件是有且仅有只有一个实数，使得；⑨；⑥若，则；、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则”例３、已知中，点在边上

4、，且，，则的值是___例４、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____例５、边长为的正三角形中，设，则？、共线问题：例６、已知，设，如果，那么为何值时，　　　三点在一条直线上？例７、如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，ABCMNG图1，则。　　例１、④⑤例２、①例３、解:用零向量解决矛盾18例４、解:例５、解：设，则，由题意，得，例６、解：，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得；当共线，则可为任意实数；当不共线，则有；综上，任意，共线，，不。例７、点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A

5、不在直线MN上），于是存在，使得，有=，得，于是得。二、向量的表示方法：①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。、坐标表示及其运算；例１、若，则______例２、如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______、基本定理应用及其向量分解：例３、给定两个长

6、度为１的平面向量和，它们的夹角为.如图，点在以为圆心的圆弧上变动.若，其中，则的最大值是？例４、已知是的外心，.若，则？18例１、解：例２、向量中三终点共线存在实数使得且.直线例３、解：方法一、设，则，即　　　　　　所以.方法二、将向量式两边平方，得，因为，故.　　方法三、以直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则代入可得，即，　　　　　　，所以由柯西不等式，得.方法四、设，作平行四边形，则.设在中使用正弦定理得方法五、，设与的交点为，，则由　　，得，且两边取模并平方整理得故.方法六、设，，当时，.例４、已知是的外心，.若，则？解：方法一、点乘法：两边同时乘以

7、得，18即，所以.方法二、坐标法：以点为原点，以及其垂直平分线所在的直线分别为轴、轴建立直角坐标系.由余弦定理得，再由正弦定理得，，所以，即，而，，于是，所以.三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理①共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。ⅰ、提供证明共线或平行的方法。ⅱ、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。、平行问题的坐标表示；例１、已知和点满足，若存在实数使得成立，则３例２、已知点，，若，则当＝____时，点在第一、三象限的角平分线上。例３、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则？例１解：由知，