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1、.2010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;⒉不准使用计算器;⒊考试用时120分钟,全卷满分150分.一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线R与圆的交点个数是()A.0B.1C.2D.无数个2.今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社区开展募捐活动,第一天只有10人捐款,人均捐款10元,之后通过积极宣传,从第二天起,每天的捐款人数是前一天的2倍,且人
2、均捐款数比前一天多5元.则截止第5天(包括第5天)捐款总数是().A.4800元B.8000元C.9600元D.11200元3.函数R的最大值和最小值分别为A.B.C.D.4.若点是圆内的动点,则函数的一个零点在内,另一个零点在内的概率为A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,满分36分.5.已知大于1的实数满足,则的最小值为.6.将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为.7.设、、都是单位向量,且=0,则的最大值为.w.w.w.k.s.5.u.c.
3、o.m8.对于两个正整数,定义某种运算“”如下,当都为正偶数或正奇数时,.;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,,则在此定义下,集合NN中元素的个数是.9.设是数列的前项和,若N,则____________.10.在Rt△中,,如果椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦点在上,则这个椭圆的离心率为.三、解答题:本大题共5小题,满分90分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.11.(本小题满分15分)在△中,分别是内角的对边,已知.(1)求的值;(2)求的值.12.(本小题满分15分)如图,已知二面角的平面角为,在半
4、平面内有一个半圆,其直径在上,是这个半圆上任一点(除、外),直线、与另一个半平面所成的角分别为、.试证明为定值.13.(本小题满分20分)如图,矩形中,,,现以矩形的边为轴,的中点为原点建立直角坐标系,是轴上方一点,使得、与线段分别交于点、,.且成等比数列.(1)求动点的轨迹方程;(2)求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标.14.(本小题满分20分)设,函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求函数的最小值.15.(本小题满分20分)已知定义在上的函数满足:,且对于任意实数,总有成立.(1)求的
5、值,并证明为偶函数;(2)若数列满足,求数列的通项公式;(3)若对于任意非零实数,总有.设有理数满足,判断和的大小关系,并证明你的结论.2010年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部
6、分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数..4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:每小题6分,满分24分.1.C2.B3.D4.A二、填空题:每小题6分,满分36分.5.6.7.8.9.10.三、解答题:满分90分.11.(本小题满分15分)解:(1)∵∴.∵,∴.∴,.∴.(2)∵,∴.∴.∵,∴.由解得∴.∴.12.(本小题满分15分)证明:过作,为垂足,在内,作,为垂足,连接,则.∵,∴..∵平面,平面,∴
7、平面.∵平面,∴.∴是二面角的平面角.∴.∴.在Rt中,.在Rt和Rt中,.∴.∴13.(本小题满分20分)解:(1)设点的坐标为,过作交的延长线于,交的延长线于.在中,,得,得. 在中,,.得. 同理可得. ∵成等比数列,∴.∴.化简得.∴动点的轨迹方程为. (2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时,点到直线距离的最大.设与直线平行的直线方程为,代入,得,① 由,解得,由,得. 故点到直线距离的最大值
8、为. 把代入①式,可解得点的坐标为. 14.(本小题满分20分)解:(1)当时,,当时,令,得所以切点为(1,2),切线的斜率为1,所以曲线在处的切线方程为:.(2)①当时,,.,恒成立.在上为增函数.故当时,..②当时,,()(ⅰ)当即时,若时,,所以在区间上为增函数.故当时,,且此时.(ⅱ)当,即时,若时,;